| 研究分担者 |
佐官 謙一 大阪市立大学, 理学部, 助教授 (70110856)
今吉 洋一 大阪市立大学, 理学部, 教授 (30091656)
小松 孝 大阪市立大学, 理学部, 教授 (80047365)
伊達山 正人 大阪市立大学, 理学部, 講師 (10163718)
藤井 準二 大阪市立大学, 理学部, 講師 (60117968)
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| 研究概要 |
フラクタルとは、位相次元を超えるハウスドルフ次元をもった距離空間上の図形をいう.このような図形の中で、とくに、自己相似性と概周期性をもったものがよく研究されており、本研究でも主にこのようなものを考察する.このような対象は滑らかさを欠いており、このため、従来の解析学の枠外にあり、今なお、実りある成果は少ない.しかしながら、これらは、自然現象や社会現象の中に頻繁に見い出され、重要な研究対象となりうるものであり、応用も期待される.
フラクタルを作り出す数学的機構の一つとして,Rauzy Fractalというクラスが知られている.これは,Pisot数のような代数的整数を用いて,その展開の定まった有限小数部分に対応する代数的共役の組が作る図形という形で定義されるものである.本研究ではこのクラスを一般化し,colored tiling spaceの整数部分上のcoboundaryという形で定式化し成果を得た.これは,実数展開を一般化したweighted substitutionに対応するcolored tiling spaceの随伴方程式の解で絶対値が1より大きいものを用いたものである.ここで,絶対値が1より小さい解に着目すると,自己相似確率過程が得られる.自己相似性は従来から、確率過程論やエルゴード理論の分野に自然な形で出現し研究されてきた.ブラウン運動は、その法則が1/2次の自己相似性をもった加法過程として特徴付けられる.また、エルゴード理論におけるある種の交換法則をみたす変換の組は、空間移動と自己相似変換の組の一般化と考えられ、その幾何的表現が結果として様々なフラクタル図形を作り出す.これらを統一的観点から眺めることで新たな視野が開けた.
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