古典群、量子群、ヘッケ環の表現論と組合せ論

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640012
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 寺田 至 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (70180081)
• 研究分担者: 小林 俊行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (80201490) ; 岡田 聡一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (20224016) ; 有木 進 東京商船大学, 商船学部, 助教授 (40212641) ; 田中 洋平 東京商船大学, 商船学部, 助教授 (00135295) ; 小池 和彦 青山学院大学, 理工学部, 教授 (70146306)
• キーワード: 表現論 / 組合せ論 / 指標 / Robinson-Schensted対応 / 分岐則 / 小行列式 / Well表現 / Young図形

研究概要

Sundaramらによる昇降盤とBrauer図形の間のRobinson-Schensted型対応に対し、交代双線型形式とflagおよびべき零行列を用いた意味づけが与えられていたが、これに関しより精密な結果が得られた。すなわち与えられた昇降盤を根基列型として持つようなべき零行列とそれで安定なflagおよび交代双線型形式の組の全体が既約な代数多様体になることが示され、SteinbergによるもともとのRobinson-Schensted対応の意味づけとの平行性がより明確になった。他の対称空間の軌道分解に対応する組合せ論的対応を見つけることが引き続き今後の課題である。
sp(2n,C)のWeil表現の何重かのテンソル積に現れる既約表現に対し、そのWeil表現とのテンソル積の分解を組合せ論的に記述するようなRobinson-Schensed型の対応を構成しようとするT.Roby氏との研究交流が進展し、rankが2の場合にはすべての場合にわたって構成に成功した。rankを定め、テンソル積の回数を多くしていったときの"安定域"に関しては、rankにかかわらず構成は成功している。これをすべての場合に拡張すること、またその意味づけを与えることが今後の課題である。
その他、小池和彦氏によって古典群の指標に関する結果、岡田聡一氏似よって小行列の和公式とrhombus tilingに関する結果、小林俊行氏によってreductive groupの無限次元表現に関し分岐が無重複または離散的になる場合に関する結果などが得られている。

研究成果

• [文献書誌] 小池和彦: "Principal specializations of the classical groups and q-analogs of the dimension furmulas" Advances in Mathematics. 125. 236-274 (1997)
• [文献書誌] 小池和彦: "Representations of spinorgroups and the difference characters of SO(2n)" Advances in Math. 128. 40-81 (1997)
• [文献書誌] 小池和彦: "On representation of the classical groups" Amer.Math.Soc.Translations(2). 183. 79-100 (1998)
• [文献書誌] 岡田総一: "Applications of a minor-summation formulas to rectangular-shaped representations of classical groups" J.Aigebra. (発表予定).
• [文献書誌] 岡田総一・Christian Krattenthaler: "The number of rhombustilings of a "punctured"hexagon and the minor summation formula" Advances in Applied Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] 梅村・岡田総一・岡本和夫・野海正俊: "Special polynomials associated with the Painleve equations" Proceedings of Taniguchi Symposium"Integrable systems and algebraic geometry". (発表予定).
• [文献書誌] 小林俊行: "Harmonic analysis on homogeneous manifolds of reductive type and unitary representation theory" Selected papers on harmonic analysis groups,and infariants,(Ed.K.Nomizu),Amor math Soc.Translatious Ser II. 183. 1-31 (1998)
• [文献書誌] 小林俊行: "Invariant measures on homogeneous manifolds of reductive type" J.reine und angew.Math. 490. 37-53 (1997)
• [文献書誌] 小林俊行: "Discrete decompasability of the restruction of Aq(λ)with respect to reductive subgroups,II" Annals of Math. (in press). (1998)
• [文献書誌] 小林俊行: "LP analysis on homogeneous manifolds of reductive type and representation thery" Proc.Japan Acad.73. 62-66 (1997)
• [文献書誌] 小林俊行: "Deformation of compact Clifford-Kleinforms of indefinite-Riemannian homogeneous manifolds" Math.Ann.310(in press). (1998)
• [文献書誌] 小林俊行: "Discrete deconpasability of the restriction of Ag(λ)with respect to reductive subgroups II" Inventiones Math. 131. 229-256 (1998)
• [文献書誌] 寺田至・原田耕一郎: "群論(岩波講座現代数学の基礎・第11巻所収)" 岩波書店, (1997)