古典群、量子群、ヘッケ環の表現論と組合せ論

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640012
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 寺田 至 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (70180081)
• 研究分担者: 小林 俊行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (80201490) ; 岡田 聡一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (20224016) ; 有木 進 東京商船大学, 商船学部, 助教授 (40212641) ; 田中 洋平 東京商船大学, 商船学部, 助教授 (00135295) ; 小池 和彦 青山学院大学, 理工学部, 教授 (70146306)
• キーワード: 組合せ論 / 表現論 / 古典群 / ヤング図形 / 盤 / ロビンソン・シェンステッド対応 / ブラウアー図形 / べき零行列

研究概要

Stanleyらによって昇降盤とBrauer図形の間に与えられたRobinson-Schensted型の対応に対し、交代双線型形式とflagおよびべき零行列を用いた意味づけが前の研究で一部なされていたが、今回より精密な結果が得られた。すなわち与えられた昇降盤を根基列の型として持つようなべき零行列とそれで安定なflagおよび交代双線型形式の組の全体が既約な代数多様体になることが示され、SteinbergによるもとのRobinson-Schensted対応の意味づけとの平行性がより明確になった。Berele対応など他のRobinson-Schensted型の対応の幾何学的な意味を見つけることが今後の課題である。
sp(2n,C)のWeil表現の何重かのテンソル積に現れる既約表現に対し、そのWeil表現とのテンソル積の分解を組合せ論的に記述するようなtableauの集合およびRobinson-Schensed型の対応を構成しようとする研究に関しては、組合せ論的扱いの基礎を普遍指標のある種の無限和に対して特殊化写像を定義することにより明瞭にした。またT.Roby氏の研究に協力を行ったことにより、テンソル積の回数がrankに比して大きい“安定域"の場合およびn=2の場合にRoby氏がほぼ結果を得ている。これをすべての場合に拡張することが今後の課題である。
その他、小池和彦氏によって古典群の指標に関する結果、岡田聡一氏によって小行列の和公式とrhombus ti1ingに関する結果、小林俊行氏によってreductive groupの無限次元表現に関し分岐が無重複または離散的になる場合に関する結果などが得られている。

研究成果

• [文献書誌] 小池和彦: "On representations of the classical groups" Amer.Math.Soc.Transl.Ser.2. 183. 79-100 (1998)
• [文献書誌] 小池和彦: "Representations of spinor groups and difference characters of SO(2n)" Adv.Math.128. 40-81 (1997)
• [文献書誌] 小池和彦: "Principal specializations of the classical groups and q-analog of the dimension formulas" Adv.Math.125. 236-274 (1997)
• [文献書誌] 岡田聡一: "Applications of minor summation formulas to rectangular-shaped representations of classical groups" J.Algebra. 205. 337-367 (1998)
• [文献書誌] 岡田聡一(M.Noumi,K.Okamoto,H.Umemuraと共著): "Special polynomials associated with the Painleve equations II" Proceedings of the Taniguchi Symposium 1997 “Integrable Systems and Algebraic Geometry". 349-372 (1998)
• [文献書誌] 岡田聡一(C.Kvattenthalerと共著): "The number of phombus tilings of a “punctured" hexagon and the minor summation formula" Adv.in Appl.Math.21. 381-404 (1998)
• [文献書誌] 小林俊行: "Discrete decomposability of the restriction of Ag(λ) with rospect to reduc-tive subgroups II-micro-local analysis and asymptotic K-support" Ann.of Math.147. 709-729 (1998)
• [文献書誌] 小林俊行: "Discrete series representations for the orbit spaces arising frow two involutions of real reductive Lie groups" J.Funct.Anal.152. 100-135 (1998)
• [文献書誌] 小林俊行: "Discrete decomposability of the restriction of Ag(λ) with respect to reductive subgroups III-restriction of Harish-Chardra modules and associated varieties" Invent.Math.131. 229-256 (1998)
• [文献書誌] 小林俊行(B.Orstedと共著): "Conformal geometry and branching laws for unitary representations attached to minimal nilpotent orbits" C.R.Acad.Sci.Paris. 326. 925-930 (1998)
• [文献書誌] 寺田至(原田耕一郎氏と共著): "群論(岩波講座「現代数学の基礎」11巻所収)" 岩波書店, 240 (1997)
• [文献書誌] 小林俊行(I巻は大島利雄氏と共著): "Lic群とLie環I,II(岩波講座「現代数学の基礎」17巻)" 岩波書店, 525 (1999)