複素多様体の特異点の研究

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640016
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 石井 志保子 東京工業大学, 大学院・理工学研究科数学専攻, 教授 (60202933)
• 研究分担者: 斉藤 秀司 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (50153804) ; 辻 元 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (30172000) ; 黒川 信重 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (70114866) ; 小林 正典 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (60234845) ; 藤田 隆夫 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (40092324)
• キーワード: 特異点 / トーリック多様体 / 代数曲面

研究概要

多様体の特異点が標準モデル、極小モデル、対数的標準モデルを持つだろうということは極小モデル問題の中にあげられていることである。これは2、3一次元の場合には証明されているが、4次元以上では一般には解かれていない。本研究では一般次元の場合に、対象を限定して、toric多様体の上の非退化超曲面特異点が標準モデル、極小モデル、対数的標準モデルを持つことを示した。またこれを大局化した定理:完備toric多様体の上のΔ-regular超曲面が標準モデル、極小モデルを持つことを示した。またこれらのモデルを求めるアルゴリズムを求めた。
曲面上の正規特異点の不変数 -K^2 が非負の最小値 1/3 を持つこと、上からの集積点を持たないことを示した。これはひとつの特異点から新しい特異点をつくる操作で -K^2の値が真に下がる場合、この操作は有限回で終了するということを示している。一方、下からの集積点は持ち、有理数になること、また全ての正整数は下からの集積点であることをを示した。
正規複素代数曲面上の随伴直線束の基点についての川内 Masek の境界付きの場合への一般化を与えた。
実曲線の特異点は分枝が1つであればblow-analyticに非特異なものと同値であることを示した。また、special Lagrangian 3-torusの構成例を初めて与えた。
圏のゼータ関数の研究を進めた。特に圏のラプラス作用素の固有値の分布を調べた。

研究成果

• [文献書誌] 石井志保子: "Minimal, canonical and log-canonical models of hypersurface singularities" Contemporary Math.207. 63-77 (1997)
• [文献書誌] 石井志保子,H.Chen: "On-K^2 for normal surface singularities" International Journal of Math.9. 653-668 (1998)
• [文献書誌] 石井志保子: "The minimal model theorem for divisors of toric varieties" to appear in Tohoku Math.Journal.
• [文献書誌] 小林正典,Kuo: "Uniqueness of unibranched curve in IR^2 up to simple blowingo up" Proc.Japan Acad.73. 97-99 (1997)
• [文献書誌] 小林正典: "Real analytic algebraic singularities" Pitman Research Notes in Math.381. 30-37 (1998)
• [文献書誌] 黒川信重: "量子空間とRiemann予想" 日本物理学会誌. 53. 696-699 (1998)
• [文献書誌] 藤田隆夫: "An appondix to Kawachi-Maseko paper on global generation of adjoint bundles on normal surfaces" J.of Alg.Geom. 7. 251-252 (1998)
• [文献書誌] 石井志保子: "特異点入門" シュプリンガー・フェアラーク東京, 263 (1997)
• [文献書誌] 黒川信重,栗原将人,斉藤毅: "数論3" 岩波書店, 220 (1998)