| 研究概要 |
McKay & StraussはMoonshineに現れるThompson seriesについて、そのq展開の係数の符号に周期性が見られることを観察して報告している。その中には、無限積で定義されるモジュラー関数が含まれる。代表者らは、これらの事実が、サークル法の拡張を用いて証明されることを確認した。そして、係数の符号はKloosterman和の符号と一致することを証明の詳細とともに示した。さらに、代表者らは、このような現象が遥かに広汎に見られるものであることを確認した。一般的には、指標付きのモジュラー関数及びKloosterman和を扱うこととなり、問題は単純ではない。その中で、無限積で定義されるモジュラー関数のうちに、係数が周期的にzeroとなる例があり、それがKloosterman和の消滅定理と関連することが、新たに発見された。ただし、この詳細な解明は今後の研究課題として残された。(数理研・研究集会1998発表、同報告集1999論文参照)
またこれらの研究と合わせて、分担者らは、保型形式のLiftingに関して新たな知見を得たが、本研究は、今後の大きな発展に繋がる結果であると期待される。
従来、GL(2,R)の保型形式からGL(3,R)の保型形式へのLiftingは、L関数の関数等式を用いる方法で、Gelbart & Jacquetによって構成されているが、今回新たに、分担者はtheta correspondenceによる構成に成功した。theta seriesを核とする積分変換において積分領域を制限するなどの方法を用いる。これはまた、新たに与えられたEisenstein seriesの積分表示とも関連する。(名市大芸工紀要1999論文参照)
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