数論的関数の和の評価とそのL関数への応用

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640026
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 谷川 好男 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50109261)
• 研究分担者: 鈴木 浩志 名古屋大学, 理学部, 講師 (70235993) ; 秋山 茂樹 新潟大学, 理学部, 助教授 (60212445) ; 松本 耕二 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (60192754) ; 北岡 良之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022686)
• キーワード: Rankin-Selberg series / Voronoi 級数 / 約数問題 / ゼータ関数

研究概要

1.a(n)をフーリエ係数にもつ重さкの保型形式ψ(z)に対し、Rankinはディリクレ級数ζ(2s)Σ^∞_<n=1>|a(n)|^2n^<1-s-к>=:Σ^∞_<n=1>c_nn^<-3>の解析的性質からΣ_<n【less than or equal】x>c_n=C_1x+Δ_0(x;ψ),Δ_0(x;ψ)≪χ^<3/5>を示し、その系としてΣ_<n【less than or equal】x>|a(n)|^2=C_2x^κ+Ο(x^<κ-2/5>)を得た(1939年)。しかしその後Rankinの結果は改良されておらず現在の重要な問題になっている。我々はVoronoi級数を道具にしてΔ_0(x;ψ)を詳しく調べた。Δ_0(x;ψ)に対するVoronoi型の無限級数が発散しており、それが研究の障害になっている。そのため我々はc_nのweighted sum Σ_<n【less than or equal】x>(x-n)c_nの誤差項_1(x;ψ)Δ_0(x;ψ)とΔ_1(x;ψ)の関係を求めた。Δ_1(x;ψ)についてはVoronoi公式が収束しているため、解析的な取り扱いが可能である。この研究によって、
(i)Δ_1(x;ψ)≪x^αならΔ_0(x;ψ)≪x^<α/2>が成り立つ。
(ii)Δ_1(x;ψ)≪x^<6/5>
(iii)∫^x_0Δ_1(x;ψ)^2dχ=C_3X^<13/4>+F(X)とするときF(X)=O(X^<3+ε>)が成り立つ。
(iv)F(X)=O(X^θ)ならΔ_1(x;ψ)=O(x^<max(9/8,θ/3+1/5)>)
を得た。特に(iii)についてはMeruman型のVoronoi公式を示し、証明した。また(iv)によりRankinの問題はF(X)の評価に帰着されることになった。以上の結果は“On Riesz means of the coefficients of the Rankin-Selberg series"としてまとめ現在投稿中である。
2.関数の局所的な性質を調べるためにはshort intercalsでの積分をみるのが有効である。古典的な約数問題関数に対してはJutilaによる1984年の結果がある。ゼータ関数のcritical stripにおける研究のためにはJutilaの結果を一般の約数関数σ_α(n):=Σ_<d/n>d^a,(-1<a<0)の場合に拡張しておくことが必要である。我々はΣ_<n【less than or equal】x>σ_a(n)exp(2πih/k)の誤差項のshort intervalsにおける2乗平均についての公式を得、またある条件のもとでの漸近的な挙動を示すことができた。これについては“The mean value theorem of the divisor problem for short intervals"としてまとめ、Archiv der Math.から出版予定である。

研究成果

• [文献書誌] J.Furuya and Y.Tanigawa: "Estimation of a certain function related to the Dirichlet divisor problem" NEW TRENDS IN PROBABILITY AND STATISTICS (Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory). 4. 171-189 (1997)
• [文献書誌] I.Kiuchi and Y.Tanigawa: "The mean value theorem of the divisor problem for short intervals" to appear in Achiv der Mathematik.
• [文献書誌] S.Akiyama and Y.Tanigawa: "Calculation of values of L-functions associated to elliptic curves" to appear in Mathematics of Computation.
• [文献書誌] I.Kiuchi and K.Matsumoto: "The resemblance of the behaviour of the remainder terms Eσ(t), Δ_<1-2σ>(x) and R(σ+it)" Sieve Methods, Exponential Sums, and their Applications in Number Theory (London Math. Soc. Necture Notes Sevies 237). 255-273 (1997)
• [文献書誌] M.Katsurada and K.Matsumoto: "Explicit formulas and asymptotic expansions for certain mean square of Hurwitz zeta-functions.II" NEW TRENDS IN PROBABILITY AND STATISTICS (Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory). 4. 119-134 (1997)
• [文献書誌] K.MAtsumoto: "Asymptotic series for double zeta, double gamma, and Hecke L-functions" to appear in Maths.Proc.Camb.Phil.Soc.
• [文献書誌] Y.Kitaoka: "Finite arithmetic subgroups of GLn, V." Nagoya Math.J.146. 131-148 (1007)
• [文献書誌] A.Fujii and Y.Kitaoka: "On plane Lattice points whose coordinates are reciprocals modulo a prime" Nagoya Math.J.147. 137-146 (1997)
• [文献書誌] S.Akiyama: "Almost uniform distribution modulo 1 and the distribution of primes" Acta Math.Hungar. 78(1-2). 39-44 (1998)
• [文献書誌] S.Akiyama: "Pisot numbers and greedy algorithm" to appear in the Proceedings of the international conference on number theory held at Eger (Hungar.).