| 研究概要 |
wreathed 2-群SをSylow 2-部分群として持つ有限群Gのmod 2コホモロジー環H^*(G,k)は平成7年度一般研究(C)において一応,計算したのだが,平成4年度一般研究(C)によるSylow2-部分群が準2面体群である場合や,Sylow2-部分群が2面体群である場合も含めてかなり統一的に扱う方法を見出した.すなわち,
命題1.Hを有限群G部分群の族とする.コホモロジー類ζが族Hに属する部分群Hからのtransfer写像の像Σ_<HEH>Tr^G_HH^n(H,k)に属すると仮定する.kG-加群Mとコホモロジー類ζのCarlson加群L_ζのテンサー積M【cross product】L_ζが射影的ならば,加群MはH-射影的である.
この命題とCarlsonの定理をp-ランクが2の有限群のmod pコホモロジー環のパラメーター系に適用して,パラメーター系のコホモロジー類のCarlson加群の構造を調べることができ,以ってコホモロジー環の次元公式などを得ることができる.
また,HoltとAlperinの定理を組み合せて
命題2.Sを有限群GのSylow p-部分群とし,
F={H【less than or equal】S|Hはtame,C_P(H)【less than or equal】H,N_G(H)/C_G(H)はp-群でない}
おく.Sのコホモロジー類ζがG-安定であるためには
(i)N_G(S)のどの元gに対してもcon^g(ζ)=ζであり,かつ,
(ii)族Fに属するどの部分群HとN_G(H)のどの元gに対してもcon^gres_H(ζ)=res_H(ζ)
であることが必要十分である.
を得た.これはSylow p-部分群のコホモロジー類が普遍安定元であるかどうかを判定するひとつの方法である.命題12ともにexponent pのextra-special p-群に適用できる.この群の普遍安定mod pコホモロジー環は未決定である.
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