| 研究概要 |
Gを有限群,H_1,…,H_mを互いに素なGの部分群としS_0={1},S_i=H_i-{1}(1【less than or equal】i【less than or equal】m)かつS_<m+1>=G-U_<1【less than or equal】i【less than or equal】m>H_iとおく.S_0^^<^>,S_1^^<^>,…,S_<m+1>で生成されるC[G]の部分環〈S_0^^<^>,S_1^^<^>,…,S_<m+1>^^<^>〉がシュア環であるとは条件〈S_0^^<^>,S_1^^<^>,…,S_<m+1>^^<^>〉=CS_0^^<^>+CS_1^^<^>+…+CS_<m+1>^^<^>がみたされることを言う.論文"Relative difference sets relative to mutually disjoint subgroups"で次を示した:定理Dを部分群H_1,…,H_mに関する群Gのパラメタλの相対差集合とする.つまり
D^^<^>D^<(-1)>^^<^>=|D|+λ(G-∪H_i)とする.
このとき次のいずれかが成り立つ.
(i) H=H_1∪・・・∪H_mはGの部分群でDはHに関するGの通常の相対差集合である.
(ii) m=2,λ=1,|D|=n-1,|G|=n(n-1),でかつ{|H_1|,|H_2|}={n-1,n}である.
(iii) Gはある素数pに対して位数p^Cのアーベル群でH_<m+1>=S_<m+1>∪{1}は位数p^ccのGの部分群でありDのあるトランスレートはH_<m+1>で(p^d,|D|,λ)-差集合である.さらに|H_1|=…=|H_m|=|H_<m+1>|=p^dである.
(iv)|G|=n^2かつ{H_1,…,H_m}はGのパーシャルスプレッドである.
また論文"On Sylow subgroups of abelian affine difference sets(Agnes Dizon-Garcianoとの共著)"において次の結果を得た.
定理 Dを群Gにおける位数nの可換なアフィン差集合でpをn+1の素因数,rをGのp-rankとする.pがπ(ω)⊆π(n)となるある整数ω>1に対してp|ω+1をみたすとしs=(w-1)_<π0>とおく(ただしπ_0=π((ω-1,n^2-1))).このときr≦log_p(|G_S|+2)が成り立つ.
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