| 研究概要 |
潤滑対数概型さらに潤滑対数代数堆積の対数的変形理論が対数微分層のヴェルディエ双対層を用いて小平・イルルジー・加藤の変形理論の形で得られる。対数構造で指定された超曲面を除く部分の変形がコントロールできる。特に、複素数体上の小平次元非負の関数体の変形理論が得られ、それによって飯高・フィーヴェックの予想の川又・フィーヴェックの仕事の残りの部分が証明できた。さらに,対数的開多様体に対する同様の予想にも有効である。この変形理論の重要部分が純代数的証明で置き換えられる。望月のグロータンディエク予想のプローピー版定理の関数体への応用と小平次元非負の多様体の双有理同型群の構造定理から得られる。対数的開多様体の場合,幾何的半局所環への応用と飯高の小平次元非負の多様体の強双有理同型群の構造定理とから得られる。この場合局所トレリ射が単射のとき川又の定理の類似とフィーヴェックの仕事の類似が同様に得られる。関数体の拡大に対する微分環の分解が絶対ガロア群の半直積に対応する。繊維空間の基底の関数体の絶対ガロア群の双有理同型群の表現が自明となるとき直積となる。
擬射影トーリック多様体ではそれらが理想的になっているので代数多様体にも対数構造を入れて石田複体と石田の構造層を係数とする加群のフィルトレィシオンの類似と開多様体に拡張してホッジ予想とテート予想に行き着く。
関数体上の高次元モーデル予想について微分層の多重層の射影束の多様体上の有理点上の射影空間は有理点を稠密にもつことがわかったので,幾何模型の標準因子と切断の曲線の交点数が上から有効に評価できる。
与えられた多様体と与えられた種数に対して多様体内のその種数の曲線と標準因子との交点数が上から評価できる。数論的多様体についても類似を研究中である。関数体上の高次元シャファレヴイチ予想は小平の正則変形理論と消滅定理によって原型となる定理が得られた。多重相対双対層の順像の弱正値性と双有理変形理論はこのときは役に立たないが,対数的変形理論と消滅定理の組み合わせでさらに一般化された形が得られる筈でる。
|
