| 研究概要 |
Mをn次元閉複素多様体,Aut(M)をその自己同型全体のなすり一群とする.このとき,任意のAut(M)の要素gに対して拡張二木不変量F(g)がM_g=M×[0,1]/〜,(m,0)〜(g(m),1)(∀m∈M)によって定義される複素葉層構造付き多様体のSimons characterとして定義される.この拡張二木不変量をAut(M)の単位元連結成分に制限すればM上のアインシュタイン=ケーラー計量の存在の障害となることが二木昭人氏の結果から直ちに分かるが,その全体がアインシュタイン=ケーラー計量の存在の障害となるかどうかは,様々な例が「拡張二木不変量(全体)はアインシュタイン=ケーラー計量の存在の障害となる」という(本研究において証明を与えることを目標とする)予想を支持しながらも,未だに不明である.この予想の正しさが証明されれば,最近Gang Tianによって発見されたstabilityを用いたアインシュタイン=ケーラー計量の存在の障害よりもずっと計算し易く,Mが正則ベククトル場を持たなくても非自明な障害ができることになる.ここで,拡張二木不変量F(g)は∂W=M_gとなる概複素可微分多様体Wに境界M_gの近くでM_g×[0,ε)の直積計量となるようなエルミート計量hを入れ,その計量に対応する接続∇_hから定めたWの第1チャーン形式c_1(W,∇_h)のn+1乗のW上の積分∫_Wc^<n+1>_1(W,∇_h)のmod.Z reductionに等しいから,拡張二木不変量がアインシュタイン=ケーラー計量の存在のための障害であるという上記の予想を証明するためには,∂W=M_gとなる概複素可微分多様体Wとその上のエルミート計量hを具体的に構成し,その計量から求めた第1チャーン形式のn+1乗をW上で積分した値を具体的に求めそれが整数であることを示せばよい.このような具体的にチャーン形式を構成して計算するという方法は一般的には困難である場合が多いが,Mが正則ベクトル場を持たず,Aut(M)が有限群となる場合(この場合が本質的である)には∫_Wc^<n+1>_1(W,∇_h)を具体的に計算できるという見通しがあり,現在その方法を開発中である.
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