| 研究概要 |
「R^n上の関数uについて、そのグラフがユークリッド空間の極小超曲面ならば、uは一次関数になるか?」というのが、有名なBernstein問題である。この問題は、1969年に完全に解決され、n【less than or equal】7ならば正しくn【greater than or equal】8のときは反例があることが示された。そこで次の
問題uにどんな条件をつければ、uは一次関数になると結論できるか?
これについては、sup|Du|<∞なら正しいことがMoser(1961)によって示されている。この結果を拡張する形で、EckerとHuisken(1990)は、|Du(x)|=o(√<|x|^2+|u(x)|^2)>ならば正しいことを示した。
本研究では、MoserとEcker-Huiskenの結果が、余次元が高いグラフでも成り立つことを示した。次の記号を使う。
g_<ij>=δ_<ij>+Σ^^p__<k=1>(∂u^k)/(∂x^i)(∂u^k)/(∂x^j),g^+=det(g_<ij>).
定理u=(u^1,...,u^p):R^n→R^pのグラフがR^<n+p>の極小部分多様体であって,そのnormal connectionがflatであるとする.もしsup|Du|<∞ならば,各u^kは1次関数である.
定理u=(u^1,...,u^p):R^n→R^pのグラフが極小部分多様体であって,そのnormal connectionがflatであるとする.もし
√<g(x)>=o((|x|^21+|u(x)|^2)^r) for 0<Эr<1/2
が成り立てば、各u^kは1次関数となる.
定理u=(u^1,...,u^p):R^n→R^pのグラフが極小部分多様体であって,次の条件を満たす正数Lがあるとする。
(a)sup√<g><L,
(b)|[A^<ξi>,A^<ξj>]|【less than or equal】2/(n(L^2-1))|A|^2 (A:第2基本形式,{ξ_j}:法空間のorthonormal basis).
このときuは一次関数となる。
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