| 研究概要 |
1.酒井はリーマン多様体における種々のリーマン不変量の間に成り立つ関係,計量不変量と空間構造の関連をテーマとして研究を続けて来た。特に最近勾配ベクトル場のノルムが一定である様な関数を許容するリーマン多様体の構造を調べて,多様体のリツチ曲率が下から押えられている場合にはその様な関数のラプラシアンの絶対値が上から押えられることを示し,特に等号が成立する場合の多様体構造を定めた。上記課題に関する科研費の援助の下でこの事実の摂動版を考察した。
最近リツチ曲率と多様体構造の関連について,J.チーガー,T.H.コールディング等は新しい手法により重要な結果を得ている。彼等の研究の検討を行ってその方法を勾配ベクトル場のノルムが一定な関数を許容するリーマン多様体の場合に適用して次の様な結果を得た。すなわちリツチ曲率が下から押えられていて関数のラプラシアンの絶対値が満たす不等式の等号成立の場合から少し摂動している場合には,リーマン多様体はグロモフ・ハウスドルフ距離の意味で等号成立の場合の多様体構造構造(ユークリツド幾何・双曲幾何)に近いことを示した。また,これを一般の捩れ積をモデルとする場合に拡張した。
2.次に上記課題に関連して分担者達の行った研究に簡単に触れる。三村は楕円空間の有理ホモトピー型の分類問題を考察した。勝田はグラフのラプラシアンの等スペクトル問題を扱っている。また田中は準線形発展方程式を半群の立場から考察し,古典解の存在と一意性を取り扱った。
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