| 研究概要 |
スピン構造を持つコンパクト連結リーマン多様体上のDirac作用素に対する等スペクトル問題を考え新たな進展を得た。(2n-1)次元球面空間形Γ＼S^<2n-1>でスピン構造を持つものを考える。これらのクラスのなかでDirac作用素で等スペクトルをもつが距離同型でない対を構成する問題を考えた。C.Barは基本群がメタ巡回群であるようなクラスでそのような例を構成している。qを11以上の素数、q_0=(q-1)/2、L_0(q,n)をレンズ空間{L{q:p_1,p_2,・・・,p_n)|p_i≠±p_j(mod q)(i≠j)}の距離同型類とする。このとき(q-6)次元のレンズ空間の族L_0(q_1q_0-2))に属するレンズ空間達はラプラス作用素で等スペクトルであるが距離同型でない例となっていた。これらのクラスのレンズ空間でDirac等スペクトルを持つかどうかをC.BarによるDirac作用素のスペクトルに附随したPoincare級数をもちいて調べた。q<30のとき3つの17次元のレンズ空間L(23:1,5,2,10,4,20,8,16,11)、L(23:1,5,2,10,4,20,8,17,11)、L(23:1,5,2,10,4,20,17,16,11)はDirac等スペクトルであることが分かっている。本年度の進展の結果23以上で103以下の素数であるqのなかでq≡3(mod 4)を満たすものにたいしL_0(q,q_0-2)に属するレンズ空間でDirac等スペクトルであって距離同型でないものが存在することをみつけた。またq≡1(mod 4)なるqにたいしてはDirac等スペクトルをもつレンズ空間の例は見つけられなかった。これより次のような予想をたててその解決に努めている。qを23以上の素数でq≡3(mod 4)を満たすときL_0(q,q_0-2)のなかにはDirac等スペクトルで距離同型でない対が存在する。
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