| 研究概要 |
本年度は,ワイエルストラス表現公式の大域的問題の周辺に現れる基礎的な問題を主として考察した.ユークリッド空間の極小曲面に関するモノドロミ-問題は,ある種の積分の周期問題と考えることができるが,たとえば,双曲型空間のCMC-1曲面についてのそれは,「リーマン面上の常微分方程式のモドロミ-間題」-これは周期問題の非可換化と思うことができる-とみなすことが出来たのであった.ここで現れるモノドロミ-問題は「モノドロミ-群がユニタリ群にreduceされるのはどんな時か」という形に述べることができる.この条件を一般的に書き表すには多大なる困難があるが,問題がある種の対称性をもっている場合は,解ける可能性があり,それを用いて対称性をもつCMC-1曲面の具体例が大量に構成できることがわかった.この事実と類似の状況が,リーマン面上の特異定曲率計量についても成り立つことが示され,さらに,ある位相的条件のもとでその計量の分類問題が解決された(投稿準備中).また,曲面を離れて,ある種のフックス型の微分方程式のモノドロミ-について考察した.一方,ワイエルストラス型の表現公式の応用として,全曲率が小さい場合のCMC-1曲面の分類が試みられた(現在進行中).さらに,ユークリッド空間の完備な極小曲面に関して成立するバランス条件(通常「フラックス公式」と呼ばれる)のCMC-1版が発見された(投稿準備中).
|
