| 研究概要 |
平成9年度における研究対象である幾何構造Locally Conformally Kahlerian Gemetryに対して次のような成果を得た.Locally conformal Kahler多様体(W,J,g)に対するBochner曲率テンサーB(g)の消滅はWの位相的性質にどの様に反映するかを最初に調べた.Contactizationと呼ばれる方法により自明なバンドル上の全空間のKahler構造と底空間のCR-構造の関係を調べ,自由 R-作用を持つCR-構造を分類することにより底空間上のl.c.Kahler構造を決定することに成功した.そのとき.本質的な事実はBochner曲率テンサーは共形不変量でありこれがChern-Moser-Webster曲率テンサーと一致するということである.第一の結果として,
定理1M^<2n>はBochner曲率テンサーが消滅しているようなコンパクトl.c.Kahler多様体とする.このとき,Mは{Kahler多様体のclass:複素射影空間CP^n),複素ユークリッド空間形C^n/△,複素双曲空間形Hc^n/Γ,Fiber積(複素双曲×複素射影)空間形};{non-Kahler多様体:Hopf多様体S^1×S^<2n+1>}のどれかに共形同値である.
この証明はBochner曲率テンサーが消滅するとき,Mは(1)射影幾何(PU(n+1),CP^n);(2)相似幾何(C^n×(U(n)×R^+),C^n);(3)双曲幾何(PU(n,1),Hc^n);(4)射影-双曲幾何(PU(m,1)×PU(n-m+1),Hc^m×CP^<n-m>)のいずれかにに一意化できるというUniformization定理に基づく.また,1.c.Kahler多様体上の局所共形変換群をしらべた.この群は正則変換群の部分群である.一般に正則変換群は有限次元Lie群とはならない.しかし,その多様体がコンパクトであるときには小畠,Lelong-Ferrandの共形多様体に関する剛体定理を使って,第二の結果として,次のコンパクト性定理を、得た.
定理2L.c.Kahler多様体はコンパクトならばその局所共形Kahler変換群はコンパクトLie群になる.
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