| 研究概要 |
4n+3次元多様体上のPseudo-quaternionic構造とその平坦性に対して次のような成果を得た.最初に小畠,Lelong-Ferrandの剛体定理のpseudo-quaternionic多様体に対する一般化を試みた.(4n+3)次元多様体が幾何学(PSp(n+1,1),S^<4n+3>)に局所的にモデルされている多様体をspherical pseudo-quaternionic多様体といった.トポロジー的な結果として次のことを証明した.
定理Mを4n+3次元コンパクトSpherical pseudo-quaterionic多様体とする.もしspherical pseudo-quaternionic:変換群がノンコンパクトなら,Mは標準球面s^<4n+3>にpseudo-quaternionicallyに同型である.
しかしまだ,その消滅が平坦性を与えるpseudo-quaternionic構造の不変量の構成はできていないため,次の予想が依然として残る.
予想: Mを4n+3次元コンパクトpseudo-quaternionic多様体とする.もしpseudo-quaternionic変換群の連結成分Aut(M)^0がノンコンパクトならMは標準球面S^<4n+3>にpseudo-quaternionicallyに同型である.
次にSpherical Cauchy-Riemann幾何またConformally flat幾何と同様Spherical pseudo-quaternionic幾何の基本的な結果を確立した.
定理1 (S^<4n+3>,Null θ)をSasakian構造から生成されるCarnot-Caratheodory構造とする.
Aut_<QCC>(S^<4n+3>)を(S^<4n+3>,Null θ)上の全てのquaternionic Carnot-Caratheodory変換の作る群とするとき,次の二つの幾何学は一致する.
(Aut_<QCC>(S^<4n+3>),S^<4n+3>,NUll θ)=(PSp(n+1,1),S^<4n+3>).
この結果を使い,コンパクトSpherical pseudo-quaterrnionic多様体がamenableホロノミー群を持つときの分類,また基本群が4元数双曲多様体の基本群に同型の場合のコンパクトSpherical pseudo-quaternionic多様体の剛体性を証明した.
定理2 コンパクトSpherical pseudo-quaternionic多様体のホロノミー群がamenableなら,Mの適当な有限被覆は球面S^<4n+3>,Hopf多様体S^1×S^<4n+2>あるいはnilmanifold M/Γになる.
Theorem3 MをコンパクトSpherical pseudo-quaternionic多様体とし,その基本群π_1(M)は4元数双曲群PSp(n,1)のuniform離散部分群Γに同型とする.このとき,Mは等質空間のコンパクト商空間(double cosetspace)Sp(n)×Sp(1)＼Sp(n,1)・Sp(1)/Γにpseudo-quaternionicallyに同型になる.
|
