代数多様体内の強擬凸CR多様体のモジュライの研究

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640123
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 鹿児島大学
• 研究代表者: 宮嶋 公夫 鹿児島大学, 理学部, 教授 (40107850)
• 研究分担者: 大本 亨 鹿児島大学, 理学部, 助教授 (20264400) ; 愛甲 正 鹿児島大学, 理学部, 助教授 (00192831) ; 黒川 隆英 鹿児島大学, 理学部, 教授 (20124852) ; 與倉 昭治 鹿児島大学, 理学部, 教授 (60182680) ; 坪井 昭二 鹿児島大学, 理学部, 教授 (80027375)
• キーワード: CR多様体 / モ-ジュライ / 変形 / 正規孤立特異点 / Hodge構造

研究概要

代数多様体内に埋め込まれたコンパクト強擬凸CR多様体には、正規孤立特異点からくる情報と無限遠超曲面切断からくる情報が混在している。本年度の研究は、主として特異点の変形に対応した情報の解析に充てられ、以下のような成果が得られた。
1.正規孤立特異点の半普遍変形族を境界上のCR構造の変形によって記述するという所謂「倉西プログラム」を(これまでに得られている、赤堀氏、R.Buchweitz氏-J.Millson氏、代表者、J.Bland氏-C.Epstein氏の結果を含む)完全な形で解決した。この結果により、(当初の「倉西プログラム」は複素3次元以上の正規孤立特異点の変形に対する問題として提起されたが)複素2次元以上の正規孤立特異点に対して、同じ枠組みでのCR構造の変形からのアプローチが行えることが明らかになった。また、代数幾何学における特異点の変形を複素多様体やCR多様体のカテゴリーで扱う方法も確立できた。
2.複素2次元特異点の場合の「倉西プログラム」を解決するために、実3次元強擬凸CR多様体上でのJ.Kohn氏の∂_b-解析のベクトル束値版を確立した。この結果は、高次元で予想されるようなスカラー値∂_b-解析の単なるアナロジーではないという反例も合わせて示した。
3.正規孤立特異点の変形と境界上のCR構造のHodge構造に関して、次の2つの観点から、その関係を明らかにした。
(1)特異点の半普遍変形族のパラメータ空間内に、特異点解消により得られる強擬凸領域上のHodge構造の影響として現われる非特異な方向を検出した。
(2)S^1-作用を持つCR多様体の場合に、その変形空間にS^1-作用から引き起こされる次数を導入し、その次数付けによる変形空間の構造の解析を行った。錐状特異点の場合には、(2)で得られた結果は、(1)を改良した結果になっていることも示した。

研究成果

• [文献書誌] K.Miyajima: "A note on the Bogomolov-type smoothness on deformations of the regular part of an isolated singularity" Proceedings of the American Mathematical Society. 125・2. 485-492 (1997)
• [文献書誌] K.Miyajima: "Deformation Theory of CR-Structures and Its Application to Deformations of Isolated Singularities II" Advanced Studies in Pure Mathematics. 25. 247-275 (1997)
• [文献書誌] 宮嶋公夫: "強擬凸CR構造の変形と正規孤立特異点の変形" 京都大学数理解析研究所講究録. (発表予定). (1998)
• [文献書誌] L.Ernstrom 他: "On topological Radon transformations" Journal of Pure and Applied Algebra. 120. 235-254 (1997)
• [文献書誌] S.Yokura: "A singular Riemann-Roch for Hirzebruch characteristics" Banach Center Publications. 43(発表予定). (1998)
• [文献書誌] T.Aikou: "A partial connection on complex Finsler bundles and its applications" Illinois Journal of Mathematics. (発表予定). (1998)
• [文献書誌] T.Aikou: "Einstein-Finsler vector bundles" Publ.Math.Debrecen. 52. 363-384 (1997)
• [文献書誌] T.Ohmoto 他: "A remark on the Chern classes of local complete intersections" Proceedings of the Japan Academy. 73・5. 93-95 (1997)
• [文献書誌] T.Ohmoto: "Vassiliev type invariants of smooth mappings from surfaces to 2-plane" 京都大学数理解析研究所講究録. 1006. 55-64 (1997)
• [文献書誌] Y.Koshiba: "On compact open topology in the case of local fields" Rep.Fac.Sci.Kagoshima Univ.30. 13-15 (1997)