| 研究概要 |
ケーリー代数の積構造を用いることにより6次元球面上には、等質な概エルミート構造が存在する。この概エルミート構造に関して接空間がある意味で不変な部分多様体に関する研究を行った。まず、等質な概エルミート構造の自己同型群が例外型14次元単純Lie群G_2であることに注目し、この種の不変部分多様体に対応するグラスマン束の等質空間としての表示を与えた。次に各不変部分多様体の構成方法とG_2合同類に関する不変量の研究を開始した。
1. J-holomorphic curveに関しては、3次元ユークリッド空間内のフレネーセレの公式に対応する公式を導き、G_2合同類に関する不変量の表示を得た。また、局所的な存在定理も得られた。さらに、R.L.Bryantによるsuper-minimal J-holomorphic curveの構成について、より幾何学的に明白な形で表現を与えた。
2. 3次元totally real submanifoldに関しては,J-holomorphic curveのtubeによる構成について考察し従来得られていたtotally real submanifoldは、この構成により得られることがわがった。
3. 3次元CR-部分多様体に関しては、関川氏による具体的な構成があるだけで、ほとんど例が知られていなかった。本件研究により、6次元球面内の3次元CR-部分多様体が大量に構成できることを示した。このことにより、6次元球面内の3次元CR-部分多様体の理論を構成する基盤が得られた。G_2合同類に関する不変量に関する考察も行った。
4.4次元の場合、6次元球面内の概複素部分多様体が存在しないので、自明でない6次元球面内の不変部分多様体の可能性は、4次元CR-部分多様体のみである。このような例は,現在までその存在が確認されていなかったが,大量に構成できる方法が見つかった。6次元球面内の4次元CR-部分多様体の理論を構成する基盤が得られた。
本件研究により、6次元球面内の不変部分多様体を大量に構成することができた。
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