| 研究概要 |
研究代表者は、多様体の位相不変量を研究する立場から、一般デデキント和と保型形式を考察してきたが、この両者の基本的関係を明らかにする論文を完成させ、今年度中に出版することができた。“Modular forms,generalized Dedekind symbols and period polynomials"がそれである。この論文は、多項式で相互法則が記述できるような一般デデキント和の構造を明らかにしており、このような一般デデキント和はすべて保型形式のある積分から得られることを示している。また、相互法則に現れる多項式の特徴付けも与えている。実際、多項式は周期多項式と呼ばれる一群の多項式と本質的に一致するものであった。多項式の具体的な形はやはり今年度出版の論文“The space of period polynomials"で調べられており、ベルヌ-イ多項式の言葉で表せることが解った。以上、二つの論文で、保型形式、一般デデキント和および相互法則を記述する多項式の三者の関係が解明され、かつ相互法則に現れる多項式も明らかになったわけである。なをこれらの考察を進める途中で、副産物としてT.M.Apostolの一般デデキント和と呼ばれるものの相互法則の別証明、および保型形式に関するEichler-Shimuraの同型定理の別証明も得られた。
今後の課題として、一般デデキント和をできる限り性質の知られた関数で具体的に表示すること、多様体の位相不変量としてどのような一般デデキント和が現れるかを調べることがあり、来年度も研究を継続していきたい。
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