| 研究概要 |
ツイスター理論を、数学的に、ダブル・ファイバリングを通しての2つ以上の幾何構造の対応、関係としてとらえる。
1.(n,2)型Grassmann構造と、ヌルn-平面束を通して、射影構造の対応、関係について:ヌルn-平面束のn次元ト-トロジカル分布の完全積分可能性が、田中接続の曲率の半平坦性の概念で特徴づけられ、射影構造の定義しうるn+1次元のツイスター空間が構成できる。逆に、ツイスター空間に、Einstein-Weyl構造が付加されれば、2n次元の測地線の空間に、Lie接触構造から、(n,2)型Grassmann構造が定義できる。
2.(n,n)型共形構造と、全ヌルn-平面束を通して、純スピノル構造の対応、関係について:これについては、今、進行中の課題である。全ヌルn-平面束のn次元ト-トロジカル分布の完全積分可能性は、平坦なときのみ成り立ち、純スピノル構造が定義されるツイスター空間が定義される。ここでは、逆の立場が面白いと思われる。純スピノル構造に関するモデル空間のツイスター・ダイアグラムを調べ、一般論を田中理論の立場で調べる。典型的な例であるRiemann多様体上の長さ1の接枠束を、詳しくみてみる。
3.4次元Riemann多様体のツイスター理論の高次元への拡張として、自己双対な8元構造とツイスター理論:Spin(7)構造をもつ8次元多様体Mに、自己双対性が定義され、ファイバーがS⌒4である12次元ツイスター空間Fが構成できる。さらに、その上に、ファイバーがS⌒2である14次元ツイスター空間Zができる。Mが自己双対性をもつことと、Fがsemi-integrableな4元構造をもつことと、Zがintegrableな複素構造をもつこととは同値である。
4.例外群G_2に関するツイスター理論:5次元接触構造の立場と、7次元G_2構造の立場、それぞれ違った視点でツイスター理論を考える。いずれも、モンジュ・アンペ-ル方程式が絡んでいると思われる。進行中の課題である。
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