| 研究概要 |
異なった幾何構造の間の関係を、付随した微分式系の解空間の構造としてとらえ、ダブル・ファイバリングを通してダイナミックにみていくのがツイスター理論の本質であり、我々はその考えに沿って、研究成果、予定を述べる。
1. Grassmann構造:(n,2)型は射影構造と対応していて、特に面白い。ヌル平面束にトートロジカル分布を定義して、完全積分可能性と半平坦性の同値を示した。そのとき、その束にco-Grassmann構造が定義でき、lifting定理,reduction定理,twistor定理を示した。
2. 自己双対な8元構造:Spin(7)構造をもつ8次元多様体Mに、自己双対性が、2-形式の空間の既約分解によって、曲率テンソルに定義され、ファイバーがS^4である12次元ツイスター空間Fが構成できる。さらに、その上に、ファイバーがS^2である14次元ツイスター空間Zができる。Mが自己双対性をもつことと、Fがsemi-integrableな4元構造をもつことと、Zがintegrableな複素構造をもつこととは同値であることを示した。
3. Laplace方程式の基本解:複素空間の(複素)Laplace方程式の基本解のツイスター積分表示を、最大全ヌル平面全体のツイスター空間上に、グラフ理論の樹木の概念を援用して、ある閉微分形式で行なった。奇数次元は、Hadamardの降下法を利用した。
4. Monge-Ampere方程式:独立3変数以上の場合に、分解可能という概念を定義した。特性系のLagrange型、non-Lagrange型それぞれの中である種の方程式を特徴づけた。射影構造と、接触構造が定義できるシンプレクティック構造、及びキャリブレーションなどの幾何構造と関係があることを示した。
予定としては、純スピノル構造と(n,n)型共形構造、Lie接触構造、Lagrangian構造、及び例外群G_2の3つのタイプのツイスター理論を展開したい。さらに、シンプレクティック構造(さらに接触構造)をもつ空間での(sub-)Laplace方程式の解、特に基本解のツイスター的構成を行ないたい。そして、キャリブレーションであるspeciaILagrangianを、Calabi-Yau多様体からFano多様体に拡張して、モジュライの構造を調べたい。ミラー理論、超弦理論と関係がある。
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