不動点定理を介した非線形問題の究明

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640160
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 高橋 渉 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (40016142)
• 研究分担者: 木内 博文 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助手 (00251611) ; 谷口 雅治 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 講師 (30260623) ; 鵜飼 正二 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 教授 (30047170)
• キーワード: 非線形関数解析学 / 非線形作用素 / 非線形エルゴード定理 / 非線形発展方程式 / 凸解析学 / 不動点理論 / min-max定理 / 非線形変分不等式

研究概要

本研究は「不動点定理を介した非線形問題の究明」と題して、種々の不動点定理を介して、非線形問題の基本的性質を明らかにすることを目的として研究がなされた。特にバナッハ空間における種々の作用素の不動点の存在と、その近似に関する問題をバナッハ空間の幾何学的観点から解明するとともに、不動点の存在と近似法を通して、バナッハ空間の幾何学的性質の特徴づけを行うこと、さらには非線形関数解析学の基本定理を不動点定理の立場から見直し、それを使って非線形最適化問題や非線形微分方程式、経済均衡問題の解の存在やその近似法に応用してみるという点から研究が行われた。まず数学、オペレーションズ・リサーチ、経済学における非線形問題、特に非線形最適化問題、非線形微分方程式の問題、経済均衡問題、画像処理の問題を数学的に把握し、それらを数学的に再構成してみたところ、従来の不動点定理や近似法を発展させるとともに、新たな手法を開発して組み合わせることが必要であることがわかった。具体的には、非拡大写像のコンパクトなしの不動点定理とその近似法、写像族の不動点定理とその近似法に基づく研究が大切であることがわかった。そこで、その研究を進め、いくつかの有用な結果を得た。また、それはこれまで内外で研究されていた数学的理論を介すると、非線形解析学などで重要である無限次元力学系理論と非線形最適化理論、非線形微分方程式論、経済均衡問題とも結び付けることができ、その方面でもかなりの成果を得た。これらの結果は内外の雑誌や日本数学界で公表され、非常に関心をもたれた。また最近諸外国で引用されはじめたことを報告しておきたい。ただし、数値的に捉えた非線形の性質を数学的に厳密に証明することは一般には容易ではなかった。そこで、数学的に困難な部分は数値的な結果で補い、可能な部分についてはできる限り証明を与えるという、数学的に厳密な部分と数値的な結果を融合した形で研究した。これらの成果は本当に予想以上であった。これは夏休みを利用しての大量の文献収集やその整理、ならびにこの問題に興味を持っている他大学の研究者との数多くの研究打ち合わせや討論が、功を奏した結果であろう。

研究成果

• [文献書誌] Wataru TAKAHASHI: "Fixed point theorems and nonlinear ergodic theorems for nonlinear semigroups and their applications" Nonlinear Analysis,Theory,Methods & Applications. 30-2. 1283-1293 (1997)
• [文献書誌] Wataru TAKAHASHI & Osamu KADA: "Strong Convergence and Nonlinear Ergodic Theorems for Commutative Semigroups of Nonexpansive Mappings" Nonlinear Analysis,Theory,Methods & Applications. 28-3. 495-511 (1997)
• [文献書誌] Wataru TAKAHASHI: "Weak and Strong Convergence to Fixed Points Nonexpansive Mappings" Proceedings of the First Symposium on Nonlinear Analysis. 1-12. 71-83 (1997)
• [文献書誌] Wataru TAKAHASHI & Tomoo SHIMIZU: "Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings" J.Math.Anal.Appl.211-1. 539-550 (1997)
• [文献書誌] C.BOSE, R.ILLNER, & S.UKAI: "On Shock Wave Solutions for Discrete Velocity Models of the Boltzmann Equation" TRANSPORT THEOREM AND STATISTICAL PHYSICS. 27-1. 35-66 (1998)
• [文献書誌] Masaharu TANIGUCHI: "Multiple existence and linear stability of equilibrium balls in a nonlinear free boundary problem" Quart.Appl.Math.(to appear).