非線形解析学と力学系の研究

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640161
• 研究機関: お茶の水女子大学
• 研究代表者: 竹尾 富貴子 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (40109228)
• 研究分担者: 浅本 紀子 お茶の水女子大学, 理学部, 助教授 (90222603) ; 吉田 裕亮 お茶の水女子大学, 理学部, 助教授 (10220667) ; 渡辺 ヒサ子 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (70017193) ; 笠原 勇二 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (60108975) ; 金子 晃 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (30011654)
• キーワード: 非線形解析学 / cellular automata / limit set / weighted function space / hypercyclic semigroup / chaotic semigroup / fractal boundary / self similarity

研究概要

非線形解析学と力学系の研究において、本年度は以下のような実績を得た。
1. 作用素論的立場からは、セルオートマトンの極限集合について、その極限集合への収束の仕方について、研究した。それぞれの段階の状態を、上半連続関数空間の元として考え、適当な距離を導入することにより、コーシー列となり、ある種の完備性から極限集合へ収束することを示した。
さらに、weighted function space上の作用素からなるtranslation semigroupがhypercyclic半群になるためのweight functionの必要十分条件は知られているが、カオス半群になるための必要十分条件は、まだ知られていなかったので、カオス半群になるための加重関数の必要十分条件を求めた。
2. 確率論的研究としては、多次元fractional Brownian motionの局所時間について、適当に非線形な正規化を行うと、(指数)×(次元)が1に近づくとき、extremal processの逆過程に収束することを証明した。定常増分を持つガウス過程について、出発点における局所時間の末尾確率の漸近挙動と、増分の分散関数の原点付近での漸近挙動の関係を明らかにした。
3. ポテンシャル論の立場からは、フラクタルな境界を持つ領域で、2重層ポテンシャルに関連した作用素のBesov空間上の有界性について考察し、全空間で定義されたリプシッツ関数に対して境界上のBesovノルムを、その関数の偏微分と境界からの距離の適当なべき上の内部または外部の積分で評価できることを示し、ヘルマンダー型の極大関数の理論を使うことにより、境界がフラクタルな場合にも作用素があるBesov空間で有界であることを証明した。

研究成果

• [文献書誌] M.Yamada & F.Takeo: "Chaotic Translation Semigroups of Linear Operators" RIMS Koukyuroku. (to appear).
• [文献書誌] M.Matsui & M.Matsuto: "Dynamical Systems for the Frobenius-Perron Operator" RIMS Koukyuroku. 1042. 102-111 (1998)
• [文献書誌] M.Matsuto & F.Takeo: "Cellular Automata in Function Spaces" 北海道大学数学講究録[第6回関数空間セミナー報告集]. 52. 27-32 (1998)
• [文献書誌] M.Matsuto & F.Takeo: "Cellular Automata in Function Spaces II" 北海道大学数学講究録[第7回関数空間セミナー報告集]. (印刷中).
• [文献書誌] M.Yamada & F.Takeo: "Chaotic Semigroups of Linear Operators" 北海道大学数学講究録[第7回関数空間セミナー報告集]. (印刷中).
• [文献書誌] H.Watanabe: "Layer heat potentials for a bounded cylinder with fractal boundary" RIMS Koukyuroku. 1042. 112-122 (1998)
• [文献書誌] H.Watanabe: "Besov spaces on fractal sets" Sci.Bull.Josai.Univ.(印刷中).
• [文献書誌] H.Watanabe: "Layer heat potentials for a bounded cylinder with fractal boundary" Nat.Sci.Rep.Ochanomizu Univ.49. 1-31 (1998)
• [文献書誌] Y.kasahara & N.Ogawa: "A note on the local time of fractional Browninan motion" J.Theoret.Probab.12. 207-216 (1999)
• [文献書誌] Y.Kasahara et al.: "On tail probability of local times of Gaussian process" Stoch.Proc.Appl.(印刷中).
• [文献書誌] A.Kaneko: "Liouville type theorem for solutions of infra-exponential growth of linear partial differential equations with constant coefficients" Natural Sci.Report Ochanomizu Univ.49. 1-5 (1998)
• [文献書誌] A.Kaneko & A.Balandin: "Maximum Entropy Method for sign-altering functions" Inverse Problems. 15. 445-463 (1999)