| 研究概要 |
本年度は当初の実施計画で目的としたC^∞-多様体X上の微分同相の群Diff_0(X)(特に、supportがcompactなものに限定する)の上の連続な1-cocycleθの特徴づけが一応満足のゆく形で解決された。その内容を手短に述べると、Xが単連結である場合はθは次の三つの標準的1-cocycleから成る。
(1)1-coboundary term (2)smooth measure μ に関する Jacobian term (3)unitary character term
またXがcompact Lie群である場合も上の結果は正しい。一般の場合は、これら以外の1-cocycleが現れる可能性がある。たとえば、Xが円柱のときにはさらに回転に関する1-cocycleが加わってくる。これらの事実は恐らく空間Xの幾何学的形状が何らかの形で関与していることを示唆する。引き続き関係を明らかにするため研究を進めることとしたい。尚、副産物として、Diff_0(X)の有限次元表現は自明なものを除いて存在しないことがわかった。無限次元Lie群Diff_0(X)にLie環的手法を適用した結果である。これらの成果は[1-cocycles on the group of diffecmorphisms]と題した論文にまとめられてJ.Math.Kyoto Univ.に投稿中である。
また、Diff_0(X)に関する別の関連した話題として、京都大学の平井教授との共同研究によってDiff_0(X)上の自然な位相、すなわちDiff(K):={g∈Diff_0(X)|suppg⊆K},KはXのcompact setでDiff(K)には自然なC^∞-位相を与える、のKを動かした帰納極限位相はXがcompactでない限り決して群位相を与えないことも判明した。この結果は一般に位相群の帰納極限位相は再び群位相を与えるかいう問題の反例になっている。これらの成果も共同で上記雑誌に「On group topologies and unitary representations of inductive limits of topological groups and the case of the group of diffeomorphisms」と題して投稿中である。
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