| 研究概要 |
当該2年間にわたり、滑らかな多様体M上の微分同相写像のなす群、Diff(M)の元で、そのうちsupportがcompactなもののなす群、Diff_0(M),およびその部分群のunitary表現に関する研究を行った。Mがcompactなときは、これらの群が無限次元Lie群になるので、その結果から推せば、これらの表現をLie環論的に扱える可能性がある。このような考察の下に線形表現への帰着可能性について調べてみた所、次の結果を得た。
1. 線形性は有限次元のCampbell-Hausdorff formulaに匹敵する公式が出来るので、一応の目途はたった。(我々の場合、この公式のcheckは自律系の微分方程式の解の挙動を調べることに相当する)
2. Lie環のexponential mapによるimageによって生成される部分群の特徴づけ。
これに関しては、Diff_0(M)の場合でいえば、この群の連結成分の中で稠密になっていることがわかり、理論を進める上で支障のないことがわかった。
3. 最後に表現空間における、滑らかなvectorが十分たくさん存在すること。
有限次元表現では勿論成り立つが、問題は無限次元の場合であり、現在はこの検討をテーマに研究を進めている。
更に以上の成果を群Diff_0(M)に関する1-cocycleに応用し、幾つかの基本的結果を得た。特に、l-cocycleの形はMの幾何学的形状と密接な関係があることがわかった。
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