研究課題
変分法と時間離散化スキームとを組合せた方法による非線型偏微分方程式の研究が、当研究の目的である。具体的に述べると、例えば(∂u)/(∂t)-(F(u)のEuler-Lagrange方程式)=0(但し、F(u)はある変分問題に現われる汎関数)という方程式の解をGn(u)=∫(|u-u_n-1|)/(2h)dx+F(u)という汎関数の最小化写像の列から構成し、その解の性質を解析することを目的としていた。また、このような写像の列の極限として得られる、時間パラメータを含んだ写像は数年前にDe Giorgiにより導入され、近年イタリアの数学者を中心に盛んに研究されているminimizing movementと関連が極めて深く、仮に微分方程式の解にならなくても、それ自身興味深い研究対象である。平成10年度より、立川は上記の方法を用いて、非コンパクト多様体から一般次元球面への調和写像の熱流方程式(Eells-Sampson方程式)の(∂u)/(∂t)-Δu-u|Du|^2=0弱解の構成を試み、今年度(平成11年度)これに成功した。さらに、このように構成した弱解がminimizing movementとなることも示した。また、長澤は昨年度に引き続き、上記の方法を用いてナヴィア・ストークス方程式の弱解のエネルギー不等式を精密化し、これを用いて弱解の部分正則性について研究を深めている。
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