| 研究課題/領域番号 |
09640177
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
解析学
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
立川 篤 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (50188257)
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| 研究分担者 |
田宮 高紀 東京理科大学, 理工学部, 講師 (60183472)
田中 隆一 東京理科大学, 理工学部, 講師 (10112898)
小林 隆夫 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (90178319)
長澤 壯之 東北大学, 理学研究科, 助教授 (70202223)
小谷 孝一 東京理科大学, 理工学部, 助手 (80183341)
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| 研究期間 (年度) |
1997 – 1999
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| キーワード | Variational Method / Discretization / Harmonic Maps |
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| 研究概要 |
変分法と時間離散化スキームとを組合せた方法による非線型偏微分方程式の研究が当研究の目的である。具体的に述べると、例えば(∂u)/(∂t)-(F(u)のEuler-Lagrange方程式)=0(但し、F(u)はある変分問題に現われる汎関数)という方程式の解をGn(u)=∫(2h)/(|u-un-1|)dx+F(u)という汎関数の最小化写像の列から構成し、その解の性質を解析することを目的としていた。また、このような写像の列の極限として得られる、時間パラメータを含んだ写像は数年前にDe Giorgiにより導入され、現在盛んに研究されているminimizing movementと関連が極めて深く、仮に微分方程式の解にならなくても、それ自身興味深い研究対象である。
立川は上記の方法を用いて、非コンパクト多様体からn次元球面への調和写像の熱流方程式(Eells-Sampson方程式)(∂u)/(∂t)-△u-u|Du|^2=0の弱解の構成し、さらにこの弱解がDe Giorgiのminimizing movementとなることも示した。
また、上記の問題と関連して、このような非コンパクト多様体間の調和写像に関しても研究を行った。特に、ある種の非退化条件を満たす調和写像について研究を行い、次のような非存在に関する結果を得た。「Nをアダマール多様体で、その断面曲率がある一点からの距離の(-2)乗より早くは減衰していないとする。このとき、ユークリッド空間R^m全体で定義されたNへの調和写像で、ある種の非退化条件を満たすものは存在しない。」
長澤は上記の方法を用いて多様体上のナヴィア・ストークス方程式の弱解を構成し、さらにこの弱解に対するエネルギー不等式を精密化し、これを用いて弱解の部分正則性の評価も得た。さらにこの方法で、双曲型ギンツバーグ・ランダウ方程式の解を構成し、数値解析を行った。
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