Dirac方程式の逆散乱問題

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640182
• 研究機関: 愛媛大学
• 研究代表者: 伊藤 宏 愛媛大学, 工学部, 助教授 (90243005)
• 研究分担者: 大鍛冶 隆司 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20160426) ; 岩塚 明 京都工芸繊維大学, 繊維学部, 教授 (40184890) ; 猪狩 勝壽 愛媛大学, 工学部, 教授 (90025487) ; 定松 隆 愛媛大学, 工学部, 教授 (10025439)
• キーワード: ディラック方程式 / 散乱作用素 / 散乱理論 / 逆散乱問題 / 相対論的量子力学 / 相対論的シュレーディンガー方程式

研究概要

ディラック方程式の逆散乱問題に関して、今まで得られた我々の結果が相対論に特有なものなのか、それともディラック方程式のもつ有限伝播性に依存するものなのか検討するために、時間に依存する電磁場をもつ相対論的シュレーディンガー方程式の逆散乱問題を考えた。この方程式は有限伝播性をもたない。相対論的シュレーディンガー方程式の定義には、ワイル量子化を用いた。我々は、散乱作用素から電磁場の一部が再構成できることを示した。完全に再構成が可能かどうかは現在研究中である。しかし、電磁場が時間に依存しない場合やある指数減衰条件を満たす場合には、完全に再構成できることを示した。この結果は、ディラック方程式の場合と同様の結果であり、我々がディラック方程式の逆散乱問題に関して完全な解決が出来なかった原因は相対論的な効果によるものであると思われ、今後の研究に大きな指針を与えた。
一方、ディラック方程式の研究はパウリ方程式やシュレデインガー方程式の研究と密接に結びついている。岩塚は、田村英男氏とともに2次元パウリ作用素の固有値の漸近分布を調べた。大鍛冶は、De Carli氏とともに、スカラークーロンポテンシャルをもつディラック作用素は常に強一意接続性が成り立つことを示した。また、シュレーディンガー方程式の解の特異伝播や平滑化効果を調べた。猪狩は、複素領域におけるコーシー問題の特異伝播性についての結果を得た。定松は退化方物型方程式の正準形に対して初期値が適切であるための必要条件を求めた。

研究成果

• [文献書誌] Hiroshi Ito: "An inversescattering problem for Dirac equations with time-dependent electromagnetic potentials" Pub.RIMS.,Kyoto Univ.34・. 355-381 (1998)
• [文献書誌] Hiroshi Ito: "A time-dependent method for inverse scattering problems" 京都大学数理解析研究所講究録. 1036. 46-64 (1998)
• [文献書誌] 伊藤宏: "Inverse scattering problems for Dirac operators with time-dependent electromagnetic potentials" 京都大学数理解析研究所講究録. 1047. 26-35 (1998)
• [文献書誌] Katsuju Igari: "Propagation of Singularities in the ramified Cauchy problem for a class of operators with non-involutive multiple characteristics" Pub.RIMS.,Kyoto Univ.35・2発行予定.
• [文献書誌] Akira Iwatsuka: "Asymptotic distribution of eigenvalues for Pauli operators with spherically symmetric magnetic fields" Tsukuba Journal of Mathematics. 22-2. 281-303 (1998)
• [文献書誌] Akira Iwatsuka: "Asymptotic distribution of eigenvalues for Pauli operators with nonconstant magnetic fields" Duke Mathematical Journal. 93-3. 535-574 (1998)
• [文献書誌] Akira Iwatsuka: "Asymptotic distribution of negative eigenvalues for two dimensional Pauli operators with nonconstant magnetic fields" Annales de l'Institut Fourier. 48・2. 479-515 (1998)
• [文献書誌] 大鍛冶 隆司: "対称構造と偏微分方程式の解の特異性の伝播" 京都大学数理解析研究所講究録. 1056. 75-96 (1998)