| 研究概要 |
球対称な係数を持つ準線形半線形退化楕円境界値問題についてその連続な粘性解は存在し球対称解に限るか否か、を中心に研究を行った。われわれの考察した偏微分方程式は次のような形をしている。ただし、領域は、有界なN次元球である。
-g(|x|,u)Δu+f(|x|,u)=0 and Dirichelt problem
ここで g(|x|,u),f(|x|,u)は連続,gは非負な関数で,fはuに関して狭義の単調のみを仮定する。また連続な陰関数が存在しその関数にある意味での滑らかさを仮定した。このとき連続な球対称な粘性解の存在を保証した。これには常微分方程式の解の存在定理、また構造定理が大変有効な手段となり、g(|x|,u)=0の付近の解析に大いに役立った。
一意性に関しても研究が進んだ。gとfにf/gがuに関して単調増加であるような関数関係を仮定したうえで考察した。もし、g≠0であれば一意性の崩れる例がある。いま、gがuに関係しているため、粘性解のいわゆるユーザーズガイドの方法は使用できず、連続な球対称な粘性解とうまく比較するという新しい方法を開発し解の一意性を導くことに成功した。当然この解は球対称解である。これはF.Eに投稿中。
次に非有界な領域において、gはuに関係しない半線形退化楕円境界値問題において無限遠点である種の境界条件を満たす連続で非有界な粘性解の考察した。連続な粘性解が存在するか否か(存在しない境界条件もある)一意はどうか、またその解は球対称解であるか否かの問題に対し、解が無限大にゆく速度を多項式の位数で分類することにより、無限遠点での境界条件のいれかたを明らかにした。ただし、この場合においては、g,fに十分な滑らかさを仮定している。タイプ中。
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