非線型楕円型微分方程式の定性的研究

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640196
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 徳島大学
• 研究代表者: 深貝 暢良 徳島大学, 工学部, 助教授 (90175563)
• 研究分担者: 香田 温人 徳島大学, 工学部, 助教授 (50116810) ; 内藤 学 愛媛大学, 理学部, 教授 (00106791)
• キーワード: 非線形 / 楕円型 / 微分方程式 / 定性理論 / 準線形 / 弱解 / 分岐 / 固有値問題

研究概要

非線型楕円型微分方程式およびその周辺についての定性的な研究を行なった。主に扱ったテーマは(i)有界領域における準線形楕円型方程式の境界値問題と(ii)非有界領域における楕円型方程式を意識した形での常微分方程式の定性的な問題とである。内容の簡単な要約を以下に記す。
[1]主要部分と外力項の減少度が一致するときの2階楕円型準線形方程式の自明解からの分岐問題を一般有界領域における弱解のクラスで取り扱った。1995年の結果が常微分方程式論に持ち込む論法であったのに対して、これは主要部にあらわれる楕円型微分作用素にLeray-Schauderのdegreeを用いての考察である。
[2]線形のSturm-Liouville方程式を半無限区間[α,∞)で考察し、強非振動という仮定の下でパラメータを0から∞まで動かせば、principal solutionと呼ばれている非振動解の零点の個数は0から∞まで一個づつ増えていくことを明らかにした。
[3]或る高階中立型微分方程式を考察し、無限遠方でのオーダーがtのk乗(ここで、kは方程式の階数より小さい非負整数)であるような解をもつための必要十分条件を求めた。
[4]任意の非線形項をもつ2階準線形常微分方程式を考察し、無限遠方でx(t)=c+o(1)およびx(t)=ct+o(t)となる解が存在するための必要十分条件を求めた。非線形項は符号条件のみを仮定してしており、単調性や増大度の条件は仮定していない。
[5]half-linearと呼ばれている非線形の2階方程式に対する2点境界値問題は、linearの場合と同様に、加算固有値列が存在し、n番目の固有値に属する固有関係は考察している区間の内部に丁度n個(境界条件によっては、丁度n+1個)の零点をもつことを明らかにした。
(6)Van der Polタイプの方程式で外力に二つ以上の周期を持つ準周期性があるとき、準周期解の存在と一意性について考察した。

研究成果

• [文献書誌] N.Fukagai, M.Ito, 他: "A bifurcation problem of some nonlinear degenerate elliptic equations" Adv.Diff.Equations. (印刷中).
• [文献書誌] T.Kusano and M.Naito: "A singular eigenvalue problem for Sturm-Liouville equations" Differentsial'nye Uravneniya. (印刷中).
• [文献書誌] M.Naito: "An asymptotic theorem for a class of nonlinear neutral differential equations" Czechoslovak Math.J.(印刷中).
• [文献書誌] J.Kiyomura, T.Kusano, 他: "Positive solutions of second order quasilinear ordinary differential equations with general nonlinearities" Studia Sci.Math.Hungarica. (印刷中).
• [文献書誌] T.Kusano, M.Naito, 他: "Second-order half-linear eigenvalue problems" Fukuoka Univ.Sci.Rep.27. 1-7 (1997)
• [文献書誌] Z.Ali, Y.Shinohara, 他: "Existence and uniqueness of quasiperiodic solutions to Van der Pol type equations" J.Math.Tokushima Univ.31. 69-80 (1997)