| 研究概要 |
本年度は代表者の所属変更に伴い,分担者が一部交代する事になった.本報告書において旧分担者による研究成果も含めて報告する.
本研究は様々な自然現象にあらわれる相変化問題をいくつかの典型的な非線形偏微分方程式において総合的にとらえようとするものである.
初年度の計画は,次の3つの分野に重点を置いた.(1)曲率流方程式について従来行われてきた方法と粘性解の手法との比較検討,(2)走化性方程式系における反応項の関数形と解の漸近挙動の関係の研究,(3)楕円型方程式の球対称解についてポテンシャル項と解の大域的性質との関連の研究,いずれの分野においても研究は順調に進行している.
粘性解の手法による曲率流方程式の研究については,界面の相変化を記述するAlen-Cahn方程式の解の漸近挙動を両側から障害物を持つ変分不等式を用いて解析する手法と,粘性解の手法を用いての解析との比較検討を行った.その結果,Alen-Cahn方程式を含む空間1次元の両側障害物問題について,解が障害物と接触する領域の大きさについての評価を得ることができた.
楕円型方程式については,全空間で指定された個数の零点を持ち,基本解と同じオーダーで減衰する球対称解の存在と一意性の結果を得た.さらに球領域や球の外部領域における境界値問題についても解の存在と一意性の結果が得られた.
走化性方程式系については,反応項の関数形と空間次元とに関連して,時間大域的な解が存在する場合や有限時間で凝縮解があらわれる場合など興味深い現象が起きていることが得られた.
いずれもより統一的な結果を得るよう次年度以降も計画を推進する.
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