| 研究課題/領域番号 |
09640228
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825)
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| 研究分担者 |
中島 主恵 早稲田大学, 理工学部, 学振研究員
廣瀬 宗光 早稲田大学, 理工学部, 助手 (50287984)
西原 健二 早稲田大学, 政経学部, 教授 (60141876)
大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656)
堤 正義 早稲田大学, 理工学部, 教授 (70063774)
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| キーワード | 反応拡散方程式 / Lotka-Volterraモデル / p-ラプラシアン / 定常解 / 安定性 |
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| 研究概要 |
今年度の研究成果を大別すると、退化型拡散項(p-Laplacian)をもつ反応拡散方程式の解のダイナミックスと定常解の安定性に関する研究、および競合モデルに関するLotka-Volterra型拡散方程式系に対する定常解集合の解明に向けた研究の二つになる。
1.p-Laplacianによる拡散項とq-次の非線形性をもつ反応項からなる拡散方程式にたいして、空間次元が1の場合にその定常解集合の構造を完全に解明することができた。ここで、特筆すべき結果はpとqの大小関係によって分岐現象が起こるか否かが決まり、解集合の構造が完全に異なったものになること、および拡散係数に相当するパラメータがある値より小さいときには解のプロフィールにflat hatが現れることである。また、比較定理を応用することにより、定常解集合が離散的であるときには、各定常解の安定性について詳しい情報が得られる。しかし、flat hatをもつような解の安定性や時間発展の様子については、まだ不十分な結果しかえられていない。今後さらに研究をすすめる必要がある。
2.拡散項をもつLotka-Volterra型競合モデルについては方程式系の単純さに比較して、解析に困難な部分がある。正の定常解の集合についても完全な解明に至っていない。例えば、Dirichlet境界条件のもとで、正の定常解が複数個現われる場合があることを、理論的には証明することができたが、数値実験で検証するためのスキームの構成はまだ途上にある。さらに、各係数が空間に依存する場合、拡散係数を非常に小さく選べば、ある規則のもとでlayerをもつ安定解を構成できることも調べられた。この研究も、非常に重要であるがまだ発展の途上にある。
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