非線形放物型方程式系と関連する楕円型方程式系の研究

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640228
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825)
• 研究分担者: 廣瀬 宗光 日本学術振興会, 特別研究員 (50287984) ; 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656) ; 堤 正義 早稲田大学, 理工学部, 教授 (70063774) ; 竹内 慎吾 日本学術振興会, 特別研究員 ; 中島 主恵 早稲田大学, 理工学部, 助手 (10318800)
• キーワード: 反応拡散方程式 / Lotka-volterra型 / 正値定常解 / 比較定理 / 安定性

研究概要

今年度の研究成果は、Lotka-volterra型の反応拡散方程式系の正値定常解の研究とsublinear項を含む半線形放物型方程式に対する比較定理の研究の二つに大別される。
(1)Lotka-volterra型の競合モデルに対する反応拡散方程式系の正値定常解は、数理生態学分野においては共存解として大きな意味がある。本研究においては同次Dirichlet境界条件下で共存解が存在するための十分条件を調べるとともに、その一意性・非一意性を理論的および数値解析的に調べた。とりわけ、線形拡散のケースでは相互作用の係数がある一定の条件をみたすときには、拡散係数をパラメータ空間のなかでみると必ず共存解が2個以上存在する範囲のあることが理論的に明らかになった。これは、既存の解の多重性に関する結果に新しい視点を与えるものである。さらに、数値解析によって定常解を構成するためには、従来はいわゆるshooting methodを用いてきたが、必ずしも効果的ではなかった。新しい方法としてNewton法を応用したスキームを試みている。
(2)sublinear項を含む半線形放物型方程式については一般には解の一意性が成立しなくなる。そこで滑らかな関数fと0<q<1に対して、同次Dirichlet境界条件のもとで
∂u/∂t=Δu+u^q+f(u)
の非負値解を扱い、supersolutionとsubsolutionによる比較定理を証明することに成功した。この結果、対応する定常問題の正値解の安定性に関し有用な情報が得られる。例えば、空間次元が1のときには、すべての正値解を求めることができ、それぞれの解の安定・不安定性を判定することが可能となる。

研究成果

• [文献書誌] 山田義雄: "Coexistence states for Lotka-Voltema systems with cross-diffusion"Fields Institute Communications. Vol.25. (2000)
• [文献書誌] 竹内慎吾: "Asymptotic properties of a reaction-diffusion equation with degenerate p-Laplacian"Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. (予定). (2000)
• [文献書誌] 市川達夫: "Some remarks on global solutions to quasilinear parabolic system with cross-diffusion"Funkcialaj Ekvacioj. (予定). (2000)
• [文献書誌] 吉田 敦: "Global attractivity of coexistence states for a certain class of reaction diffusion systems with 3×3 cooperative metrices"Advances Mathematical Sciences and Applications. vol.9,No.2. 695-706 (1999)
• [文献書誌] 堤 正義: "The time-dependent Ginzburg-Landau-Maxwell equations"Nonlinear Analysis, theory, Methods & Applications. Vol.37,No.2. 187-216 (1999)
• [文献書誌] 廣瀬宗光: "Structure of positive radial solutions to the Haraux-Weissler equation, II"Adv. Mathematical Sciences and Applications. Vol.9,No.1. 473-497 (1999)