| 研究課題/領域番号 |
09640241
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
数学一般(含確率論・統計数学)
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
南 就将 筑波大学, 数学系, 助教授 (10183964)
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| 研究分担者 |
壇 和日子 筑波大学, 数学系, 助手 (40251029)
石川 保志 筑波大学, 数学系, 助手 (70202976)
平良 和昭 筑波大学, 数学系, 教授 (90016163)
梶谷 邦彦 筑波大学, 数学系, 教授 (00026262)
赤平 昌文 筑波大学, 数学系, 教授 (70017424)
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| 研究期間 (年度) |
1997 – 1998
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| キーワード | 準位統計 / 点過程 / 量子カオス / ランダム行列 / 不規則系 |
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| 研究概要 |
1. 各成分が、独立かつ同一の正規分布に従う確率変数からなるn次の実対称行列を考える。行列X^<(n)>の固有値の数直線上での配列から得られる経験分布は、適当なスケーリングの下でn→∞とするときWignerの半円則に収束することがよく知られている。近年になってT.Chan,L.Rogers,Z.Shi,Y.Takahashiは、F.Dyson(1962)のアイディアに基づいてX^<(n)>の仮想的な時間発展X^<(n)>(t)を考えることにより、このことに別証明を与えた。彼らはX^<(n)>(t)の固有値たちから成るn次元の拡散過程が満たす確率微分方程式を研究し、それを通じて固有値の経験分布のなす確率過程のn→∞における極限を調べている。しかしながらその確率微分方程式の係数に特異性があることから、彼らは解の存在を確かめるために必要以上に難しい解析を行なっているように思われる。これに対し我々は、半円則の導出に話を絞る限り、固有値そのものの満たす上記確率微分方程式ではなく、固有値の経験分布のStieltjes変換が満たす、より易しい方程式を調べるだけで十分であることに注目し、従来の議論を簡単な見とおしのよいものにした。さらにその方程式は、行列X^<(n)>(t)のレゾルベントを考えることによりたやすく導かれることを示した。なお、この成果は大学院生の平塚剛氏との共同研究によるものである。
2. 物性理論、特に不規則系、ランダム行列、および量子力オスの理論に共通して現れる、「準位統計」の現象論的な側面を数学的に基礎づけた。これは、スペクトルまたはその一部を定常な点過程のサンプルと見なすことによってのみ可能であるが、物理学者による従来の研究ではそのことが十分明確に意識されていたとはいいがたい。そこで本研究では、定常点過程の一般論の立場から「準位統計とは何か」ということを考察し、次のようなことを明らかにした。
(1) 準位統計に現れる様々な平均量の間に成り立つ関係式の多くは、点過程論でよく知られたPalm-Khinchinの等式から導かれる。
(2) 定常点過程が定義された確率空間の上には、Palm測度と呼ばれるものが自然に構成されるが、準位の間隔分布などを観測することは実は、ハミルトニアンのスペクトルを点過程と見なしたときの、そのPalm測度を観測することに相当する。
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