無限次元確率モデルの数学解析

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640246
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 志賀 徳造 東京工業大学, 理学部, 教授 (60025418)
• 研究分担者: 谷口 雅治 東京工業大学, 理学部, 講師 (30260623) ; 高岡 浩一郎 東京工業大学, 理学部, 助手 (50272662) ; 二宮 広和 東京工業大学, 理学部, 助手 (90251610) ; 盛田 健彦 東京工業大学, 理学部, 助教授 (00192782) ; 内山 耕平 東京工業大学, 理学部, 助教授 (00117566)
• キーワード: 無限次元拡散モデル / 相互作用のある拡散系 / 標本リアプノフ指数 / ランダムウォーク / ブラウン運動 / ランダム環境下のランダムウォーク

研究概要

1。Fleming-Viot diffusion modelは測度値拡散過程のクラスを形成するがそれは集団遺伝学と密接に関係していて応用上からも重要である。その中でTachida's normal selection modelを取り上げ、その拡散過程としての定義可能性、離散モデルからの拡散近似、エルゴード性に関して意味のある結果を得た。このモデルは従来研究されてきたFleming-Viot diffusion modelとは異なり、selection項が非有界になり、拡散過程としての定義可能性に(特に、一意性)さえ未解決の問題であった。ただ、エルゴード性についてはまだ最終的な解決には至っていない。(志賀)
2。相互作用のある拡散系に関して従来、定常分布が多様に存在する状況下でのエルゴード的挙動を研究してきたが、今回は定常分布が自明な場合または存在しない場合のエルゴード的挙動の研究に取り組んだ。有限系からの近似におけるエルゴード的挙動に関して、格子空間が2次元の場合も、集団サイズに関して多次元とは異なるが適当なスケールでの極限定理を証明した。また、定常分布が存在しない状況も考察し、空間に無限遠点を付加してコンパクト化したときの極限分布の問題として定式化するとそれは一般的な逆正弦法則問題とみなせて、少なくとも有限次元の場合には拡散係数に若干の制約はつくが逆正弦法則問題を解決出来た。(志賀)
3。時空的に変動するランダムな環境におけるランダム・ウォーカ-の生存確率の問題はZ^d上のポアソン的ノイズをもつ線形確率偏微分方程式と双対的関係にある。この方程式を一般化したレヴィーノイズをもつ線形確率偏微分方程式を考察し、その標本リアプノフ指数の径数に関する漸近解析を展開した。この結果は古尾谷との共同論文として出版予定である。(志賀)
4。cofinite Fuchsian groupsにおける力学系に対し、それをMarkov systemsとみたときのtransfer operatorsの摂動解析を展開し、数論に関連するエルゴード論の問題を解決した。(盛田)
5。1次元ランダムウォークに対して導入されたSparre Andersen変換を、多次元Brownnian Bridgeに拡張し、その応用としてBrownnian Bridgeに関する新しい結果を証明した。(高岡)

研究成果

• [文献書誌] T.Shiga: "Exponential decay rate of survival probability of in a disatrous random environment." Probab.Th.Rel.Fields. 108. 417-439 (1997)
• [文献書誌] T.Furuoya and T.Shiga: "Sample Lyapunov exponent for a class of linear Markovian systems over Z^d." Osaka J.Math.34(掲載予定).
• [文献書誌] T.Cox, A.Greven and T.Shiga: "Finite infinite systems of interacting diffusions: Cluster formation and universality properties." Math.Nachrich.(掲載予定).
• [文献書誌] T.Morita: "Markov systems and transfer operators associated with cofinite Fuchsian groups," Ergod.Th.& Dynam.Sys.17. 1147-1181 (1997)
• [文献書誌] K.Takaoka: "On the martingales obtained by an extension due to Saisho,Tanemura and Yor of Pitman's theorem." Seminaire de Probabilites XXXI,LNM,Springer. 1655. 256-265 (1997)
• [文献書誌] S.Kusuoka and K.Takaoka: "On the Sparre Andersen transformation for multidimensional Brownian bridge," Jour.Math.Sci.Univ.of Tokyo. 4. 211-227 (1997)
• [文献書誌] H.Ninomiya: "Separatrices of competition-diffusion equations,in ″Reaction-Diffusion Equations and Their Applications and Computational Aspects″" edited by T.-T.Li et al. 118-125 (1997)
• [文献書誌] M.Iida and H.Ninomiya: "Nonlinear boundary value problems related to some shemical reactions on the interface in ″Reaction-Diffusion Equations and Their Applications and Computational Aspects″" edited T.-T.Li et al. 52-59 (1997)
• [文献書誌] Masaharu Taniguchi: "Multiple existence and linear stability of equilibrium balls in a nonlinear free boundary problem" Quart.Appl.Math.(掲載予定).