| 研究課題/領域番号 |
09640255
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
数学一般(含確率論・統計数学)
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
服部 久美子 信州大学, 理学部, 助教授 (80231520)
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| 研究分担者 |
中山 一昭 信州大学, 理学部, 助手 (20281040)
神谷 久夫 信州大学, 理学部, 講師 (80020676)
井上 和行 信州大学, 理学部, 教授 (70020675)
阿部 孝順 信州大学, 理学部, 教授 (30021231)
浅田 明 信州大学, 理学部, 教授 (00020652)
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| 研究期間 (年度) |
1997 – 1998
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| キーワード | フラクタル / 自己回避ウォーク / 確率過程 / 連続極限 / 見本関数 / ハウスドルフ測度 / 拡散過程 |
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| 研究概要 |
(1) フラクタル上の自己回避ウォーク(self-avoding walk)の連続極限として得られる確率過程の見本関数の幾何学的性質を取扱った。見本関数の軌跡は複数の分割タイプをもつランダムフラクタル(multi-type random construction)とみなすことができる。まず、一般の複数分割タイプのランダムフラクタルの「厳密なハウスドルフ次元(exact Hausdorff dimension)」に関する定理を得た。この定理はランダムフラクタルのハウスドルフ次元が確率1でαである場合で(一般にハウスドルフ次元は確率1で定まる)α次元ハウスドルフ測度が確率1で0になる場合、正かつ有限のハウスドルフ測度を与えるような次元関数(厳密なハウスドルフ次元)を与えるものである。ここでは、d次元(d≧2)のシェルピンスキーガスケット上の自己回避ウォークの連続極限の存在を示し、さらに、極限の過程の見本関数に対し、上記の定理を適用し厳密なハウスドルフ次元を得た。
(2) infinitely ramified fractalのひとつであるシェルピンスキーカーペット上のxy方向に非等方性をもつ拡散過程を考え、見るスケールを粗くしていくと漸近的に等方性が回復することを示した。このことは、プレ・シェルピンスキーカーペット上の非等方な抵抗網の等方性の回復という形で示される。この現象はユークリッド空間のような一様な空間では起こらず、フラクタルのような非一様な空間でのみ起こるものである。
科学研究費補助金を用いて、フラクタル、ハウスドルフ測度、確率論、エルゴード理論に関する書籍を購入し、パソコンのソフトウェアも購入した。さらに、国内外の近い分野の研究者と直接会うことにより、議論および情報収集ができた。このことは研究を進める助けとなり、更に次の課題のヒントも与えた。
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