拡散過程の構成と分解

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09640274
• 研究機関: 山口大学
• 研究代表者: 富崎 松代 山口大学, 教育学部, 教授 (50093977)
• 研究分担者: 増本 誠 山口大学, 理学部, 助教授 (50173761) ; 柳原 宏 山口大学, 工学部, 助教授 (30200538) ; 岡田 真理 山口大学, 工学部, 助教授 (40201389) ; 柳 研二郎 山口大学, 工学部, 教授 (90108267) ; 河津 清 山口大学, 教育学部, 教授 (70037258)
• キーワード: ソボレフ不等式 / 拡散過程 / ブラウン運動

研究概要

ヘルダーカスプのあるリプシッツ境界をもつd次元ユークリッド空間の領域D上の、拡散過程の構成と分解についての研究を行った。境界は局所的にある種のヘルダー関数で表現出来、カスプの開き方を定めるヘルダー指数についての下限γは真に正であることが必要である。このような領域上で定義された有界可測な係数a_<ij>をもつ一様楕円型2階偏微分作用素に対応し、H^1(D)を定義域にもつ対称ディリクレ形式εが研究の対象である。εに対応するL^2(D)上の強連続なリゾルベントを{G_λ}とすると、(i)G_λ(L^2(D)∩L^P(D))⊂C(D^^-),p>1+(d-1)/γ,(ii)G_λ(C_∞(D^^-))はC_∞(D^^-)の稠密部分空間、となるので、εに対応するD^^-上の拡散過程Mが存在する。これは、反射壁拡散過程と呼ぶべきものである。上記のリゾルベントは、D^^-×D^^-の対角線部分を除いて連続なリゾルベント密度をもち、従って、Mは推移密度関数をもつ。この密度関数のカスプ点近くでの上からの評価も得られ、それは、カスプの開き方に依存していることが分かる。我々が得た拡散過程は、D^^-全体で定義されているので、M.Fukushimaによる拡散過程の標本関数の分解定理が、除外集合なしにすべての点を出発する標本関数に対して適用できる。即ち、標本関数は、連続マルチンゲール汎関数の部分と、エネルギー零の汎関数の部分に分解される。更に、a_<ij>∈C^1(D^^-)であり、カスプのヘルダー指数が1/2以上の場合、エネルギー零の汎関数部分は、有界な時間区間上の有界変動関数となる。これは次元dに依存しない性質であり、興味ある結果と思われる。ヘルダー指数が1/2未満の場合には有界変動とはならないと予想される。またMは、対応するサブマルチンゲール問題の解になっているが、2次元の場合に、係数a_<ij>がC^<1,α>-classであるならば、解の一意性も証明出来る。

研究成果

• [文献書誌] M.Tomisaki: "Sobolev inequality on an anti--symmetric cusp domain" Bulletin of the Faculty of Education,Yamaguchi University. 47,Pt.2. 1-11 (1997)
• [文献書誌] M.Tomisaki: "Limit theorems for hitting times of 1-dimensional generalized diffusions" Nagoya Math.J.152(発表予定). (1998)
• [文献書誌] K.Kawazu: "Random walks and diffusion processes in a random environment" Sugaku Expositions AMS. 11・1. 51-75 (1998)
• [文献書誌] K.Kawazu: "Invariance principle for a Brownian motion with large drift in a white noise environment" Hiroshima Math.J. 28. 129-137 (1998)
• [文献書誌] K.Kawazu: "A diffusion process in a random environment with drift" J.Math.Soc.Japan. 49. 189-211 (1997)
• [文献書誌] K.Yanagi: "An upper bound to the capacity of discrete time Gaussian channel with feedback,III" Bull.Kyushu Inst.Tech.,Pure and Applied Mathematics. 45. 1-8 (1998)
• [文献書誌] Han Wu Chen: "Coverのconjectureに関連した結果" 数理解析研究所講究録. 1039. 111-117 (1998)
• [文献書誌] Han Wu Chen: "Factor-of-two bound for capacity in Gaussian channel with feedback and Cover's conjecture" Proceedings of the China and Japan Joint Symposium on Applied Functional Analysis and Related Topics. (発表予定).
• [文献書誌] Han Wu Chen: "Refinements of the half-bit and factor-of-two bounds for capacity in Gaussian channels with feedback" IEEE Trans.Information Theory. (発表予定).
• [文献書誌] 柳研二郎: "無限時限空間上の確率測度に関連する再生核ヒルベルト空間の役割-連続時間ガウス型通信路への応用をにらんで-" 数理解析研究所講究録. 1067. 108-117 (1998)
• [文献書誌] Han Wu Chen: "情報理論における通信路容量についてのある不等式について,II" 1998年度実解析シンポジウム報告集. (発表予定).
• [文献書誌] Han Wu Chen: "Refinement of upper bound on capacity of Gaussian channel with blockwise white noise" Proceedings of the 1998 Symposium on Information Theory and its Application. (発表予定).
• [文献書誌] Sarka Matusu-Necasova: "Free Boundary Problem for the Equation of Spherically Symmetric Motion of Viscous Gas (III)" Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 14・2. 199-213 (1997)
• [文献書誌] M.Bonk: "Distortion theorems for Bloch functions" Pacific J.of Math.179. 241-262 (1997)
• [文献書誌] M.Masumoto: "Extremal lengths of homology classes on Riemann surfaces" J.Reine Angew.Math.(発表予定).