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この研究の目標は、非可換空間上での場の理論を構成することにある。平成10年度には、9年度に引き続き非可換空間の例として、非可換球面を取り上げその上での場の理論の構成の研究を行った。非可換球面は、球面の関数代数を量子化することによって得られる空間であり、超弦理論の非摂動論的構成法として提唱されたマトリクス理論によって記述される非可換空間のカテゴリーに入る。このような空間上の微分幾何学を構成のひとつの答を我々は与え、こめ結果のディラック作用素を使いConnesの意味での非可換微分幾何学を構成し、実際に非可換球面上のスカラー場の作用、またU(1)ゲージ場の作用を書き下した。この様にして構成された場の理論の可換極限が、古典論とは違った性質をしめすことがわかってきたので、現在解析中である。
さらに、石川は、最近の超弦理論から明らかになってっきたマトリクス理論との関係を調べている。ここ数年の研究により、弦埠論の非摂動的なふるまいが、行列を時空の「座標」とする量子力学(行列理論)によって記述されることがわかってきた。行列は一般に非可換であるため、行列理論が扱う時空は通常の幾何学の範囲にとどまらず、広い意味での非可換幾何学を必要とすると考えられている。古典的重力理論(一般相対論)がほぼ対称性(一般共変性)の考察のみから得られたことを考えると、量子重力理論(弦理論)の立場から非可換空間を調べ、どのような対称性が現れるかを見ることは重要である。このような観点から、3次元反ドジッター時空(AdS3)上の弦理論を調べた。特にAdS3の大きさが弦の長さほどになった場合、拡張された無限個の対称性が現れることを示した。現在、この対称性の物理的意味を調べているところである。
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