| 研究概要 |
この研究の目標は、非可換空間上での場の理論を構成することにある。平成12年度には、9-11年度に引き続き非可換空間の例として、非可換球面を取り上げその上での場の理論の構成とその解析を行った。非可換球面は、球面の関数代数を量子化することによって得られる空間である。我々はこのような空間上の微分幾何学のひとつの構成を与え、Connesの意味での非可換微分幾何学を構成し、実際に非可換球面上のスカラー場の作用、またU(1)ゲージ場の作用を書き下した。この様にして構成された場の理論の可換極限との対応を見ると,ゲージ理論においては、可換な理論には現れない種類の項が現れる。その構造を分析することにより、非可換球面へ拡張されたゲージ理論の分類が可能になり,いくつかの種類があることが分かってきた。
一方、反対称テンソル場の下で、トーラスにまきついたD-braneが非可換性を示すことが知られている。平坦な時空であるトーラス以外で、D-braneが非可換性を示す例を構成し、その性質を調べることは、弦理論と非可換幾何学との関係を調べる上でも興味深い問題である。石川は、このような観点から、群多様体上のD-braneを調べ、boundary stateの解析から、群がSU(2)の場合のworldvolumeの具体的な形状を解析した(綿村との共同研究)。さらに,このようなD-braneの有効理論はゲージ理論で表されるが、特にある種の極限で非可換球面上のゲージ理論と関係がつくことが分かってきた。しかし、このようにして得られるゲージ理論と上記の非可換幾何によって得られたゲージ理論には,異なる部分がある。特に,弦理論から得られるゲージ理論は,可換極限での振る舞いに微妙な点があり、現在その問題について解析中である。(国際会議発表予定)
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