|
今年度は、まず、当初研究目的に掲げたうち、「正標数代数閉体の上のアフィン代数多様体に関するGrothendieck予想」に関して若干の進歩があった。一つは、有限体の代数閉包の上の連結、smoothな代数曲線でコンパクト化の種数が0のものについては、その基本群の位相群としての同型類が元の曲線のschemeとしての同型類を完全に決定するという昨年度得た結果を論文に書き上げたこと(投稿準備中)、もう一つは、この結果を(基本群の商である)tame基本群に対して一般化するための足がかりを得たことである。より詳しく言うと、この一般化においては、tame基本群から惰性群及びその上の「加法構造」を群論的に復元することがネックとなっていたが、このうち、後者については、Fermat曲線のρ-rankの詳しい計算によりクリアできることがわかった。また、前者についても、tame基本群から決まる不変量を導入し、この不変量が曲線の種数と一致するだろうという予想を立て、この予想に帰着することはわかった。予想自体の証明はまだできていないが、不変量が種数以下であることやいくつかの特別な場合には等号が成立することが証明でき、あと一歩という所である。
また、研究目的「有限体の上の完備双曲的代数曲線に関するGrothendieck予想」に関する研究実施計画の中で、Abel多様体の中の代数曲線に関する従来の研究を参考にすることを示唆したが、これについては、標数0の体の上の種数2以上の曲線をそのJacobi多様体に埋め込む時、曲線上にはJacobi多様体のtorsion pointsが有限個しか含まれないことがRaynaudによって証明されている。今年度は、Fermat曲線の場合にこの有限個のtorsion pointsを具体的に決定することに成功した。
|
