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正標数(標数p)代数多様体上のp進局所系はoverconvergent F-isocrystalと呼べれるrigid geometricな意味で標数0へ持ち上げた多様体上のFrobenius構造付きの微分加群の層で表され、そのde Rham複体のcohomology(rigidcohomology)としてp進cohomologyは定義される。当研究では、正標数代数多様体のp-進cohomologyの有限性(有限モノドロミ-予想)に関する幾つかの結果を得た。以下、主な結果を記す。
まず第一に、局所的な場合に、normal crossing divisorに沿って対数極を入れた係数付きde Rham複体とdivisorを除いた部分へ制限した複体がquasi-isomorphicであることを示した。この比較定理は、P.Deligneによる複素多様体における比較定理のrigid analytic版にあたり、大域的関数層と局所的関数層との比較をすることに得られた。その結果、係数付きrigid cohomologyのGysin同型(cohomological purity)が得られた。Gysin同型はcohomologyの性質を調べるときに、次元に関する帰納法を利用するために欠かせない性質である。
J.de Jongのalterationの理論を用いると、F-isocrystalの射に関するTate予想が、代数曲線に場合に帰着される。これと、代数曲線の場合のunit-root F-isocrystalの有限モノドロミ-定理と合わせると、一般の代数多様体上でoverconvergent unit-root F-isocrystalの局所有限モノドロミ-性が示される。P.Berthelotによる方法で、overconvergent unit-root F-isocrystal係数のp-進cohomologyの有限性やPoincare双対性が証明される。
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