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本研究調査の目的は、Stanley-Reisner環のBetti数についてその可換環論的、組合せ論的性質を考察し、また、一般の次数つき環のBetti数との関係を探ることにあった。本年度は、Betti数を研究する上で重要な不変量であるregurarityについて重点を置いて研究した。より具体的に言うとあるregularityを持つ次数つき環のヒルベルト関数は、どのような値の範囲を取りうるか、という問題について考察した。
この問題に対して、次の二つの概念を用いて研究した。一つはGroebner基底である。Groebner基底は、計算機における数式処理において基本的な役割を果たしてきた。それは、連立方程式の解などを実用レベルで求めるのに画期的なアルゴリズムを与えているし、さらに最近は図形処理にも大きな役割を果たしている。したがって、環のヒルベルト関数を求めることは、近年、Groebner基底の理論を用いることにより、計算機によって、計算できる様になってきた。ここでは、generic Groebner基底の理論を用いて、一般の次数つき環とスタンレーライスナ-環の間の不変量の関係を調べた。
もう一つは、アレクサンダー双対複体である。Eagon氏とReiner氏によって、アレクサンダー双対複体を用いて、スタンレーライスナ-環におけるGohen-Macaulay性と線形な極小自由分解をもつということの間の関係が明らかにされたのが、その出発点であった。本研究においては、それをさらに一般化し、スタンレーライスナ-環のdepthとそのアレクサンダー双対複体のスタンレーライスナ-環のregularityの間の関係を定式化した。そのことにより、regularityの問題をdepthの問題に帰着させて研究することが可能になった。
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