| 研究概要 |
3次元接触多様体へのゲージ理論の応用について成果を得た。
閉な4次元シンプレティック多様体Mにおいて,モノポール方程式のモデュライ空間から定義されるサイバーグ・ウィッテン不変量と,擬正則曲線のモデュライ空間から定義されるグロモフ・ウィッテン不変量が等価であることがタウベスにより示されている.一方,クロンハイマー・ムロウカはMが凸なエンドを持つ場合に対して,モノポール方程式の適当な解析的設定をおくことにより,サイバーグ・ウィッテン不変量をこのようなMに対しても定義できることを示した.本研究では,この2つの結果を結びつけることに成功した.すなわち,Mが凸なエンドをもつ場合の,両不変両の等価性を示した。
さて,一般の閉な4次元多様体において,モノポール方程式は,スピノル束の複素構造の向きを逆にすることにより,(Jを-Jにする)デュアリティをもつことが分かるが,クロンハイアームロウカの設定においては,もはやこのことは一般には成立しない.しかし,凸な境界にあらわれる接触構造がイソトピーによって裏返しにできるときは,このデュアリティが成立する。これを逆手に取ると,裏返し可能な接触多様体を凸な境界をもつシンプレクティック多様体は,そのカノニカル直線束が自明であるか,または,その交叉形式が正の固有空間をもつことが,上の結果を応用することにより示される。裏返し可能性のシンプクレティック幾何における対応物は,ハイパー・ケーラー多様体と思えるので,裏返し可能な接触多様体は複素幾何と深いつながりをもつことが予想できる。
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