| 研究概要 |
本年度は、四元数ケーラー多様体上のYang-Mills方程式に対する新たな解空間、もしくはモジュライ空間を求めることに成功した。主な成果は次の通りである。
1.正のスカラー曲率をもつcompactな四元数ケーラー多様体上の複素直線束にたいする分類定理を確立した。つまり、その上の反自己双対接続をすべて決定することができた。簡潔に表現すると、そのモジュライ空間は一点になるということができる。
2.1のようにそのモジュライ空間が一点となるようなベクトル束は、rankの高い場合にも起こり得ることを示した。これは、4次元多様体の場合と著しく異なる性質である。このような例を複素グラスマン多様体上で可算無限個構成することに成功した。
3.1,2のベクトル束の直和を考えることにすると、反自己双対接続の変形が可能となることを示すことができた。さらにこの場合は、その変形をすべて記述することができる。その結果、モジュライ空間はある複素射影空間上の開錐と見なせることがわかる。この例は今までのものと比較すると、いくつかの相違点をもち、興味深い。
これらの新たに発見されたモジュライ空間も実は、底空間の等長変換群の表現空間と密接な関係をもっており、この点では今まで発見してきた解空間との統一性が見られる。このようにモジュライ空間は底空間の幾何学を理解するうえで、ますますその重要性を増してきていると思われる。この点の解明が今後の課題である。
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