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シンプレクティック空間に対する局所化現象は、リー群Gのハミルトン的群作用を許容する多様体(ハミルトン的G空間)から、そのシンプレクティック商への、幾何・トポロジーの遺伝において典型的に現れる。本年度は、以下に述べる重複度公式の証明と応用に焦点を当てて研究を行なった。整ハミルトン的G空間Mに対して、適合的な概複素構造と反標準直線束の接続を与えると、同変Spin-cディラック作用素が定まる。その同変指数RR(M)は、整ハミルトン的G空間Mの基本的不変量であり、Gの表現環に値を持つ。RR(M)に含まれる各既約表現の重複度を与えるのが、重複度公式である。これまでにMeinrenkenとSjamaarによる証明が知られているが、その本質が明らかになったとは言い難く、より直接的な証明を与えることが本研究課題の目標のひとつであった。現在のところ、ある種のK理論を構築することが鍵になる、という点までは明らかになったが、その完成には引き続き研究を積む必要がある。
一方、応用面での具体的な成果としては、「4次元ハミルトン的S^1空間Mに対し、その同変指数の列{RR(M_k)|k∈N}はMの同変ハミルトン型を完全に特徴づける」という定理を論文にまとめ(ここでM_kは、Mのシンプレクティック形式をk倍して得られるハミルトン的空間を意味する)、国内外で成果発表を行なった。さらに、いかなる表現が同変指数として現れうるか、について現在考察中であり、それがわかれば、このカテゴリーの分類が完成することになる。また、高次元のハミルトン的トーラス空間でも、シンプレクティック商が2次元以下になる場合には、同様の主張が成り立つと予想している。一方、シンプレクティック商が2次元以上になる場合は、上記の結果はそのままの形では成り立たず、より高度な手法を取り込んだ定式化が、今後の重要な課題となる。
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