| 研究概要 |
本研究の最終的な目標は、Yang-Baxter方程式のBelavin解として知られる楕円R行列を用いて、ソリッド・トーラス内に埋め込まれた絡み目の位相不変量を構成することである。ここで、絡み目のソリッド・トーラス内への埋め込まれ方を特徴付けるために重要な鍵となるのが、楕円R行列とある種の交換開係を満たす、L-operatorと呼ばれる行列である。本年度の研究は、この行列の基本的な性質を調査することから始めた。そのための道具として、Bazhanov-Stroganovが考察した6項点模型のR行列とそれにそれに付随するL-operatorを用いた。
不変量溝成のためには、L-operatorに対応させるべき幾何学的対象(ダイアグラム)をうまく選ばなければならないが、これを決定することができた。6頂点模型に付随するR行列は、量子群U_qsl_2のspin1/2(ベクトル)表現と関係しているため、これまでの研究結果とほぼ平行した議論を展開でき、これまでのものの拡張版となる不変量を構成することができた。更に、最近よく知られるようになった、Birman、Bar-Natanらの方法を適用すると、この不変量からもVassiliev型の不変量が抽出できるが、このVassiliev型不変量は、その値をあるHopf代数に持つことがわかった。
近年、ソリッド,トーラス内の絡み目に絡む様々な結果が得られ始めている。例えば、(1)平面曲線やLegendrian絡み目との関係、(2)普遍不変量の構成、或いは(3)代数的背景についての研究、等々である。これらの研究との関連を調べておくことも我々の不変量の幾何学的意味を考察する上で今後重要になると思われる。これまでに、(1)については全く同様の議論が展開できることがわかったが、(2)、(3)については現在調査中である。特に(2)については、S^3における普遍不変量のアナロジーを展開し、我々の不変量と関係付けられるかという点で非常に興味深く、今後最も力を入れて研究を進めていきたい問題である。
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