| 研究概要 |
II_1型因子環の有限直和からなるvon Neumann環4つで構成されるperiodic commuting squareについての分類を目標としたが、本年度は4つのvon Neumann環のうち3つがII_1型因子環である場合を研究対象とした。
分類は因子環でないvon Neumann環のトレースペクトルやvon Neumann環の間の指数に着目して行い、各指数の値が4以下の場合はperiodic commuting squareは高々9種類しか存在しないことを示した。また、このうち8種類については有限群のII_1型因子環へのouter actionを用いて実際に構成した。
その方法は以下の通りである。
有限群Gとその2つの部分群H,Kをとり、GのII_1型因子環Rへのouter actionをαとする。Rに対して接合積やテンソル積を施すことにより4つのvon Neumann環R〓_αH,R〓_αG,(R【cross product】ι^∞(G/K))〓_<α【cross product】λ>H,(R【cross product】ι^∞(G/K))〓_<α【cross product】λ>G(ただし、λはGからι^∞(G/K)へのleft action)が得られるが、これらから構成されるcommuting squareはperiodicとなっており、(R【cross product】ι^∞(G/K))〓_<α【cross product】λ>H以外はすべてII_1型因子環である。
また、このperiodic commuting squareに関しては、分類の際に用いられるトレースペクトルやvon Neumann環の間の指数は、有限群Gと部分群H,Kの指数などを用いて表すことができる。この関係を用いて、作用素環における指数理論の結果の群論への応用をいくつか考えた。
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