| 研究概要 |
複素解析学において,q-convex domainは,重要な研究対象の1つである.q-convex domain関係の重要な問題の1つであるq-Levi問題との関連を念頭に置きつつ,ケーラー多様体Mの部分領域上,有界なC^2級のq-convex exhaustion functionを構成すること,また,構成できるための条件を調べることを目的として研究を行った。
ケーラー多様体Mの中に,滑らかな境界を持つq-擬凸領域Dが与えられたとし,Mの計量gから決まる,Dの境界∂Dまでの距離関数をdで表すとき,関数-d^α(0<α<1)はDで大域的に定義された有界関数であり,∂Dの近くでは微分可能である.この関数について,Mの正則双断面曲率が正でDが強q-擬凸の場合に,微分幾何学の第1,第2変分公式等を用いることにより,-d^αのLevi formの固有値の符号を調べた.特に,∂Dがreal hypersurface である場合に,∂Dの次元が低い場合と異なってLevi formの正の固有値が1つ増え,目的とする有界なq-擬凸関数が得られる可能性が強いという理由について,具体例を中心に詳しく検討した.また,それらの性質を一般化するとどのようになるか考え,ある種の予想を得た.今後,この予想をもとに微分幾何学的な一般な計算を行い,きちんとした成果が得られるのではないかと期待している.
また,この研究を進める過程で,q-convex domainに対する理解をさらに深めることができ,Diederich-Fornaessの意味のq-convex domain with cornersのコホモロジー群に関する興味ある例を見つけることができた.この結果については,間もなく論文としてまとめる予定である.
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