| 研究概要 |
変分的手法により非線型楕円型方程式およびハミルトン系について研究を行った。
まず,非線型楕円型方程式については正値解の存在および多重度を変分構造を持つ非線型楕円型方程式系について研究した.従来楕円型方程式系の正値解はLeray-Schauderの写像度等を用いて研究されることが多く,得られる存在結果は空間次元に制限を持つ場合が多い.また存在は示されても多重度は求められない場合が多いように思われる.本研究ではbistable typeの非線型性および変分構造を持った楕円型方程式を考え,正値解の存在および多重度(2つの正値解の存在)を空間次元に関する制限なしで示した.
ここで用いられた方法は,変分的手法とLeray-Schauderのdegree theoryを組み合わせたものであり,Mountain Pass Theoremにより得られるcritical pointの位相的性質に関するHoferの理論,楕円型線型作用素に対するKrein-Rutman理論が証明のキ-となる.
また,ハミルトン系に関してはpotential V(q)が常に負であり|q|〜0および|q|〜∞においてV(q)〜-1/(|q|^2)のようにV(q)が振る舞うとき,total enegyが0の周期軌道が存在することを変分的方法により示した.この結果は従来知られたいたstrong force potentialとweak force potentialの境目にあたるclassのpotentialの性質として興味あるものであると思われる.また関連する状況の下でnon-compactリーマン多様体(R×S^<N-1>,g)上の閉測地線の存在を示した.これらの結果の証明においてはminimax法およびMorse理論が有効に用いられている.
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