| 研究概要 |
本年度は,wavelet表現されるKarhunen過程に対する直交ランダム測度の反転公式に関する考察と,時間依存型発展方程式により記述されるKarhunen過程の定式化の導入部分に関する考察とを行った.
前者については,これは弱定常過程におけるLevyの反転公式に対応するものであり,wavelet表現による2次過程の種々の問題の定式化を確立する上で基礎付けとして重要である.内容的には,関数fのwavelet変換Wf(a,b)が2変数関数であり,(a,b)-domainで不確定性原理によりindicator関数を作ることができないため,X(t)に対する時間軸上の作用としてどのようにindicator関数を近似するかがポイントであった.筆者は,diadic wavelet表現に対し,wavelet変換のFourier変換型表現とindicator関数のFourier変換に着目し,緩い制約の下でa-方向のカットオフ,b-方向でのindicator関数の近似をするという方法で実際に反転公式を得た.反転公式の証明の際に現われる積分の有限性の評価が困難であった.
後者については,これは弱定常過程がユニタリ半群により,正規過程が正規半群によりそれぞれ定式化されるのに対し,非定常Karhunen過程の系統的な定式化手法として,それらのさらなる一般化である時間依存型の発展方程式により与えられるものを考察するものであり,これが完成すれば当該分野への貢献は少なくないと考えられる.現在のところまで,時間方向に対してはCauchyno有限折れ線近似をしたものに対し各時点で同一のスペクトル関数がスペクトル領域で掛け算されることにより与えられるクラスと無限分解可能過程との関係が密接であること,そのようなクラスに対しては確率過程から線形的に生成される確率変数のL^2-空間に対するシフト作用素のL^2-有界性が言えることがわかっている.今後,より一般のクラスに対してL^2-有界性をどうやって示すか,各時点で生成作用素A(t)が自己共役とする時に対応する各時点での単位の分解に対するどのような仮定が自然・妥当であるかが問題の焦点である.
|
